第六章不等式
證明不等式，其基本方法參閱《數學是怎樣學好的》(下冊)有關章節.這裡以數列型不等式的證明為例說明證明不等式的乙個關鍵問題: 不等式的放縮技巧。
證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下十種：
一利用重要不等式放縮
1. 均值不等式法
例1 設求證
解析此數列的通項為，，
即注：應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例2 已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：
[簡析]
例3 求證.
簡析不等式左邊=
=，故原結論成立.
【例4】已知，，
求證：≤1.
【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有
其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為：
若，，試求的最大值。
請分析下述求法：因為，所以有
故的最大值為，且此時有。
上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取「＝」的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！
那麼，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉化：
則有於是，，當且僅當
結合其結構特徵，還可構造向量求解：設，則
由立刻得解：
且取「＝」的充要條件是：。
特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!
2．利用有用結論
例5 求證
簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得
即 法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得
注：例5是2023年上海高考試題，以此題為主幹添「枝」加「葉」而編擬成2023年全國高考文科試題；進行公升維處理並加引數而成理科姊妹題。如理科題的主幹是：
證明(可考慮用貝努利不等式的特例)
例6 已知函式
求證：對任意且恆成立。
[簡析] 本題可用數學歸納法證明，詳參高考評分標準；這裡給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：
而由不等式得
(時取等號)
（），得證！
例7 已知
用數學歸納法證明；
對對都成立，證明（無理數）
[解析] 結合第問結論及所給題設條件（）的結構特徵，可得放縮思路：
。於是，
即【注】：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即
【例8】已知不等式。表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：
求證【簡析】 當時，
即 於是當時有
注：本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；
引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創新型試題的乙個顯著特點，有利於培養學生的學習能力與創新意識。再如：
設函式。
（ⅰ）求函式最小值；
（ⅱ）求證：對於任意，有
【解析】（ⅰ）1；
（ⅱ）證明：由（ⅰ）得，對x>－1有，利用此結論進行巧妙賦值：取，則有
即對於任意，有
例9 設，求證：數列單調遞增且
[解析] 引入乙個結論：若則
（可通過構造乙個等比數列求和放縮來證明，略）
整理上式得（），
以代入（）式得
即單調遞增。
以代入（）式得
此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。
注：上述不等式可加強為簡證如下：
利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有二部分放縮
例10 設,求證：
[解析]
又（只將其中乙個變成，進行部分放縮），，於是
【例11】 設數列滿足，當時證明對所有有：；.
【解析】用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，
則當時，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
【注】上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：
；證明就直接使用了部分放縮的結論。
三添減項放縮
上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。
例12 設，求證.
[簡析] 觀察的結構，注意到，展開得
即，得證.
例13 設數列滿足
（ⅰ）證明對一切正整數成立；
（ⅱ）令，判定與的大小，並說明理由。
[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這裡我們對（ⅰ）進行減項放縮，有
法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；
法2則四利用單調性放縮
1. 構造數列
如對上述例1，令則，
遞減，有，故
再如例5，令則，即遞增，有，得證！
2．建構函式
例14 已知函式的最大值不大於，又當時
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設，證明
[解析] （ⅰ）=1 ；（ⅱ）由得
且用數學歸納法（只看第二步）：在是增函式，則得
例15 數列由下列條件確定：， ．
（i） 證明：對總有；
(ii) 證明：對總有
[解析] 建構函式易知在是增函式。
當時在遞增，故
對(ii)有，建構函式
它在上是增函式，故有，得證。
【注】本題為02年高考北京卷題，有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程式的根據；同時有著高等數學背景——數列單調遞減有下界因而有極限：
是遞推數列的母函式，研究其單調性對此數列本質屬性的揭示往往具有重要的指導作用。
五換元放縮
例16 求證
[簡析] 令，這裡則有
，從而有
注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。
例17 設，，求證.
[簡析] 令，則，，應用二項式定理進行部分放縮有
，注意到，則（證明從略），因此.
六遞推放縮
遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結論進行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（ⅰ）之法2所得都是進行遞推放縮的關鍵式。
七轉化為加強命題放縮
如上述例10第問所證不等式右邊為常數，難以直接使用數學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題：
再用數學歸納法證明此加強命題，就容易多了。
例18 設，定義，求證：對一切正整數有
[解析] 用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式
是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：
故將原問題轉化為證明其加強命題：
對一切正整數有（證略）
例19 數列滿足證明
[簡析] 將問題一般化：先證明其加強命題
用數學歸納法，只考慮第二步：
因此對一切有
例20 已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
（1）求數列｛an｝的通項公式；
（2）證明：對一切正整數n有a1a2……an2n！
[解析]：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為乙個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）……1
（2）證：據1得，a1a2…an＝，
為證a1a2……an2n！，
只要證nn時有……2
顯然，左端每個因式都是正數，先證明乙個加強不等式：
對每個nn，有1－（）……3
（用數學歸納法，證略）
利用3得1－（）
＝1－＝1－。
故2式成立，從而結論成立。
八. 分項討論
例21 已知數列的前項和滿足
（ⅰ）寫出數列的前3項；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）證明：對任意的整數，有.
[簡析] （ⅰ）略，（ⅱ）；
（ⅲ）由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），
於是,當且為偶數時
當且為奇數時
（添項放縮）
由知由得證。
九. 借助數學歸納法
例22（ⅰ）設函式，求的最小值；
（ⅱ）設正數滿足，求證：
[解析] 這道高考題為05年全國卷ⅰ第22題，內蘊豐富，有著深厚的科學背景：直接與高等數學的凸函式有關！更為深層的是資訊科學中有關熵的問題。（ⅰ）略，只證（ⅱ）：
考慮試題的編擬初衷，是為了考查數學歸納法，於是借鑑詹森不等式的證明思路有：
法1（用數學歸納法）
（i）當n=1時，由（ⅰ）知命題成立.
（ii）假定當時命題成立，即若正數，
則當時，若正數（*）
為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前後兩段：
令則為正數，且
由歸納假定知
（1）同理，由得
（2）綜合（1）（2）兩式
即當時命題也成立. 根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立.
法2 建構函式
利用（ⅰ）知，當
對任意（式是比①式更強的結果）. 下面用數學歸納法證明結論.
（i）當n=1時，由（i）知命題成立.
（ii）設當n=k時命題成立，即若正數
對（*）式的連續兩項進行兩兩結合變成項後使用歸納假設，並充分利用式有
由歸納法假設
得即當時命題也成立. 所以對一切正整數n命題成立.
【評注】（1）式也可以直接使用函式下凸用（ⅰ）中結論得到；
（2）為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；
（3）本題用凸函式知識分析如下：
先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函式，則
對任意，有
特別地，若，則有
若為上凸函式則改「」為「」。
由為下凸函式得
又，所以
（4）本題可作推廣如下：
若正數滿足，則
簡證：建構函式，易得故
十. 構造輔助函式法
【例23】已知=,數列滿足
（1）求在上的最大值和最小值;
（2）證明：;
（3）判斷與的大小，並說明理由.
【解析】(1) 求導可得在上是增函式,
（2）（數學歸納法證明）①當時，由已知成立；
②假設當時命題成立，即成立，
那麼當時，由（1）得，
，，，這就是說時命題成立.
由①、②知，命題對於都成立
（3） 由, 構造輔助函式，得
， 當時，
故，所以<0 得g(x)在是減函式，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0，∴>0,即》0，得》。
【例24】已知數列的首項，，．
（ⅰ）求的通項公式；
不等式放縮技巧
數列型不等式放縮技巧八法 山東省臨沭縣實驗中學李錦旭 276700 證明數列型不等式，因其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是 通過多角度觀察所給數列通...
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮 例1 若a，...