二項式定理解題技巧
1．二項式定理：
，2．基本概念：
①二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。
②二項式係數:展開式中各項的係數.
③項數：共項，是關於與的齊次多項式
④通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。
3．注意關鍵點：
①項數：展開式中總共有項。
②順序：注意正確選擇, ,其順序不能更改。與是不同的。
③指數：的指數從逐項減到，是降冪排列。的指數從逐項減到，是公升冪排列。各項的次數和等於.
④係數：注意正確區分二項式係數與項的係數，二項式係數依次是項的係數是與的係數（包括二項式係數）。
4．常用的結論：
令令 5．性質：
①二項式係數的對稱性：與首末兩端「對距離」的兩個二項式係數相等，即，···
②二項式係數和：令,則二項式係數的和為，
變形式。
③奇數項的二項式係數和=偶數項的二項式係數和：
在二項式定理中，令，則，
從而得到：
④奇數項的係數和與偶數項的係數和：
⑤二項式係數的最大項：如果二項式的冪指數是偶數時，則中間一項的二項式係數取得最大值。
如果二項式的冪指數是奇數時，則中間兩項的二項式係數,同時取得最大值。
⑥係數的最大項：求展開式中最大的項，一般採用待定係數法。設展開式中各項係數分別
為，設第項係數最大，應有，從而解出來。
6．二項式定理的十一種考題的解法：
題型一：二項式定理的逆用；
例： 解：與已知的有一些差距，
練：解：設，則
題型二：利用通項公式求的係數；
例：在二項式的展開式中倒數第項的係數為，求含有的項的係數？
解：由條件知，即，，解得，由
，由題意，
則含有的項是第項,係數為。
練：求展開式中的係數？
解：，令,則
故的係數為。
題型三：利用通項公式求常數項；
例：求二項式的展開式中的常數項？
解：，令，得，所以
練：求二項式的展開式中的常數項？
解：，令，得，所以
練：若的二項展開式中第項為常數項，則
解：，令，得.
題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數項；
例：求二項式展開式中的有理項？
解：，令,()得，
所以當時，，，
當時，，。
題型五：奇數項的二項式係數和=偶數項的二項式係數和；
例：若展開式中偶數項係數和為，求.
解：設展開式中各項係數依次設為
,則有①，,則有②
將①-②得：
有題意得，，。
練：若的展開式中，所有的奇數項的係數和為，求它的中間項。
解：，，解得
所以中間兩個項分別為，，
題型六：最大係數，最大項；
例：已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式係數成等差數列，求展開式中二項式係數最大項的係數是多少？
解：解出，當時，展開式中二項式係數最大的項是，當時，展開式中二項式係數最大的項是，。
練：在的展開式中，二項式係數最大的項是多少？
解：二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式係數最大，即，也就是第項。
練：在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數項是多少？
解：只有第項的二項式最大，則，即,所以展開式中常數項為第七項等於
例：寫出在的展開式中，係數最大的項？係數最小的項？
解：因為二項式的冪指數是奇數，所以中間兩項()的二項式係數相等，且同時取得最大值，從而有的係數最小，係數最大。
例：若展開式前三項的二項式係數和等於，求的展開式中係數最大的項？
解：由解出,假設項最大，
，化簡得到，又，，展開式中係數最大的項為,有
練：在的展開式中係數最大的項是多少？
解：假設項最大，
，化簡得到，又，，展開式中係數最大的項為
題型七：含有三項變兩項；
例：求當的展開式中的一次項的係數？
解法①：，，當且僅當時，的展開式中才有x的一次項，此時，所以得一次項為
它的係數為。
解法②：
故展開式中含的項為，故展開式中的係數為240.
練：求式子的常數項？
解：，設第項為常數項，則，得, ,.
題型八：兩個二項式相乘；
例： 解：
.練：解： .
練： 解：
題型九：奇數項的係數和與偶數項的係數和；
例： 解：
題型十：賦值法；
例：設二項式的展開式的各項係數的和為，所有二項式係數的和為,若
,則等於多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
練：若的展開式中各項係數之和為，則展開式的常數項為多少？
解：令，則的展開式中各項係數之和為，所以，則展開式的常數項為.
例： 解：
練： 解：
題型十一：整除性；
例：證明：能被64整除
證： 由於各項均能被64整除
2019屆高三數學二項式定理
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