【知識網路】
空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值範圍，其範圍依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）兩條異面直線所成的角
求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然後通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得範圍是，向量所成的角範圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉化成相應的銳角。
（2）直線和平面所成的角
求法：「一找二證三求」，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據定義採用「射影轉化法」。
（3）二面角的度量是通過其平面角來實現的
解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關鍵。通常的作法有：（ⅰ）定義法；（ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（ⅲ）自空間一點作稜垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外，當作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之，cos ＝，其中s 為斜面面積，s′為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。
3．等角定理
如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，並且方向相同，那麼這兩個角相等。
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。
【典型例題】
例1：（1）在正方體中，下列幾種說法正確的是
a、b、 c、與成角 d、與成角
（2）在正方體ac1中，過它的任意兩條稜作平面，則能作得與a1b成300角的平面的個數為
a、2個b、4個c、6個d、8個
（3）正六稜柱abcdef－a1b1c1d1e1f1底面邊長是1，側稜長是，則這個稜柱的側
面對角線e1d與bc1所成的角是
a．90 b．60 c．45 d．30
（4）在空間四邊形abcd中，ab⊥cd，bc⊥da，那麼對角線ac與bd的位置關係是
（5）點ab到平面距離距離分別為12，20，若斜線ab與成的角，則ab的長等於
例2：．如圖：已知直三稜柱abc—a1b1c1，ab＝ac，f為稜bb1上一點，bf∶fb1＝2∶1，bf＝bc＝2a。
（i）若d為bc的中點，e為ad上不同於
a、d的任意一點，證明ef⊥fc1；
（ii）試問：若ab＝2a，**段ad上的e
點能否使ef與平面bb1c1c成60°角，為什麼？證明你的結論。
例3： 如圖, 四稜錐p-abcd的底面是ab=2, bc=的矩形, 側面pab是等邊三角形, 且側面pab⊥底面abcd.
(ⅰ)證明:bc⊥側面pab;
(ⅱ)證明: 側面pad⊥側面pab;
(ⅲ)求側稜pc與底面abcd所成角的大小;
例4：設△abc內接於⊙o，其中ab為⊙o的直徑，pa⊥平面abc。如圖求直線pb和平面pac所成角的大小.
【課內練習】
1．若平面外的直線與平面所成的角為，則的取值範圍是
（a） （b） （c） （d）
2．在正方體abcd-abcd,o是底面abcd的中心，m、n分別是稜dd、dc
的中點，則直線om
a 是ac和mn的公垂線b 垂直於ac但不垂直於mn
c 垂直於mn，但不垂直於ac d 與ac、mn都不垂直
3．設正四稜錐s—abcd的側稜長為，底面邊長為，e是sa的中點，則異面直線be與sc所成的角是
a．30° b．45° c．60° d．90°
4．異面直線a , b所成的角為，過空間一定點p，作直線l，使l與a ,b 所成的角均為，這樣的直線l有條。
5．已知三稜錐p-abc的三條側稜pa、pb、pc兩兩垂直，d是底面三角形內一點，且
∠dpa=450，∠dpb=600，則∠dpc
6．正方體ac1中，過點a作截面，使正方體的12條稜所在直線與截面所成的角都相
等，試寫出滿足條件的乙個截面
7．如圖，四面體abcs中，sa，sb，sc兩兩垂直，∠sba=45°，∠sbc=60°，m為ab的中點，求：
（1）bc與平面sab所成的角；
（2）sc與平面abc所成角的正弦值。
8．如圖，已知正四稜柱abcd—a1b1c1d1中，底面邊長ab＝2，側稜bb1的長為4，過點b作b1c的垂線交側稜cc1於點e，交b1c於點f，
⑴求證：a1c⊥平面bde；
⑵求a1b與平面bde所成角的正弦值。
9．a是△bcd所在平面外的點，∠bac=∠cad=∠dab=60°，ab=3，ac=ad=2.
（ⅰ）求證：ab⊥cd；
（ⅱ）求ab與平面bcd所成角的余弦值.
10．已知等腰abc中，ac = bc = 2， acb = 120，abc所在平面外的一點p到三角形三頂點的距離都等於4，求直線pc與平面abc所成的角。
線面角 二面角專題複習 學生版
說明紅色為必做題 課堂上展示的 其它題可選做，練手感。一 線面角 1 如圖，四稜錐中，ab cd,側面為等邊三角形，證明 求與平面所成角的大小 2 如圖，在組合體中，是乙個長方體，是乙個四稜錐 點且 證明 求與平面所成的角的正切值 3 如圖，在三稜錐p abc中，ab bc，ab bc pa，點o ...
用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...
第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...