解抽象函式的常用方法
抽象函式是指沒有給出具體解析式的函式。此類函式試題既能全面地考查學生對函式概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和轉化能力，以及對一般和特殊關係的認識，因此備受命題者的青睞，成為高考熱點。然而，由於抽象函式本身的抽象性、隱蔽性，大多數學生在解決這類問題時，感到束手無策。
我在多年的教學中,積累了一些解題方法,供大家參考.
一、 利用線性函式模型
在中學數學教材中，大部分抽象函式是以具體函式為背景構造出來的，解題時最根本點是將抽象函式具體化，這種方法雖不能代替具體證明，但卻能找到這些抽象函式的解題途徑，特別是填空題、選擇題，直接用滿足條件的特殊函式求解，得出答案即可。常見的抽象函式模型有：
例1、函式f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且f（1）＝2，
f（x）在區間[－４，２]上的值域為
解析：由題設可知，函式f（x）是正比例的抽象函式，由f（1）＝2可求得k=2，∴ f（x）的值域為［－８，４］。
例2、已知函式f（x）對任意，滿足條件，且當x＞0時，
f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函式，且f（x）為單調增函式，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函式符號，從而可求得不等式的解。
解：設，∵當x＞0時，f（x）＞2，∴，則，
即，∴f（x）為單調增函式。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，
解得不等式的解為－1 < a < 3。
例3、定義在ｒ上的函式，對任意的滿足時都有，且有成立。求：
（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。
分析：由題設可猜測f（x）是指數函式的抽象函式，
從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，則，
∴。若f（x）＝0，則對任意，有，
這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恆成立。
例４、已知函式f（x）的定義域為（0，+∞），當時且
（1）求；（２）證明f（x）在定義域上是增函式。
分析：由題設可猜測f（x）是對數函式的抽象函式，第（1）問採用賦值法易求出結果；第（2）應用函式的單調性定義來證明，其中注意的應用。
解：（1）令得，故.
（2）令得，故，
任取，且，則，
由於＞1，故＞0，從而＞
∴在（0，+∞）上是增函式。
上面列舉了幾種特殊型別的抽象函式，解法上是借助特殊函式模型鋪路，雖然不
可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解題意，模擬探索出解題思路。
二、利用函式的相關性質
1．函式的單調性：在函式與不等式相結合的題目中，若把所給式子適當變換，轉化為利用函式的單調性，巧妙地脫去抽象符號「 f 」，從而化為一般不等式求解。
例5、已知奇函式在其定義域(－1,1)上是減函式,且＜0，則實數a 的取值範圍是
分析：要得到關於a 的不等式，由在其定義域(－1,1)上是減函式易去掉抽象符號「 f 」。
解：∵是奇函式
∴＜0又在其定義域(－1,1)上是減函式
∴且且解得0＜a＜1
2．函式的週期性：利用函式的週期性對函式進行自變數的平移變換，使新的自變數在同乙個單調區間或與條件的取值相同，然後求解。
例6、已知函式滿足，，求＋的值
解析：由可得函式的週期為3，則
又∴==，故結果為2 。
3．運用函式的圖象：根據題目條件作出函式略圖，用圖象的單調性、對稱性與特殊點的函式值等尋求解題方法。
例7、已知函式是偶函式，且在上是增函式，又，則的解集是
解析：由函式是偶函式得其圖象對稱軸為，所以函式的圖象對稱軸為
，又且在上是增函式，可作出函式的簡圖
∴且或且
或三、 其他方法
1、賦值法：在定義域內成立的式子對於定義域內的特殊值總成立。因此通過觀察和分析，將一般量賦予特殊值，從而轉化為要解決的問題。
例8、已知的定義或為r，且對任意實數有= 總成立。求證為偶函式（0）。
分析：取特殊值使等式產生與，以便解決問題。
解：令，則， ∵0， ∴=1，
令，則，
∴即故是偶函式。
2、 換元法：引入乙個或幾個新的變數來替換原來的某些量，便可實現未知向已知的轉換。
例9、已知函式滿足條件，則
解析：由於難以判斷是何種型別的函式，故不可能先設出的表示式，但把條件中的換成，即，把它與原條件式聯立消去得 。
3、整體變換：從函式的區域性不能找到解題方法，但將函式式作適當變形後把部分視為乙個整體來考慮，就可找到解題方法。
例10、設、都是定義在r上的奇函式，在區間上的最大值是5，求在上的最小值。
分析：將式子變形為是奇函式。
解：令，則是奇函式且在上有最大值是3，
∴在上有最小值，
故在上有最小值。
總之，只要能透徹理解概念，在實際解題過程中不斷轉換思維角度，綜合各種方法，靈活運用技巧，就會尋找到抽象函式解題的突破口。
2、《解決抽象函式的基本方法》，中學教研，2002.1，李加軍；
3、《直擊高考（數學）》，世界圖書出版社，張斌主編。
2019高考理科數學解題方法攻略 抽象函式
化抽象為具體 抽象函式問題轉化方法 抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，但給出了函式滿足的一部分性質或運算法則的函式問題。對考查學生的創新精神 實踐能力和運用數學的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷 遼寧卷 廣東卷等各有乙個抽象函式解答題，同樣2006高考重慶卷 遼寧卷 安徽卷等也出現抽...
例說抽象函式的解決方法
函式是高中數學的核心內容，它對於學生掌握雙基和發展能力具有十分重要的意義。通常所說的函式，一般都具有解析式 圖表等某種具體的表現形式，但是有一類函式只給出了函式所滿足的一部分性質或運算法則，而沒有明確的表現形式，這類函式我們通常稱之為抽象函式。抽象函式作為初等數學和近代數學的銜接點，既能體現數學的本...
抽象函式總結
抽象函式 1.函式f x 具有奇偶性的必要 非充分 條件是什麼？f x 定義域關於原點對稱 注意如下結論 1 在公共定義域內 兩個奇函式的乘積是偶函式 兩個偶函式的乘積是偶函式 乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。2.你熟悉週期函式的定義嗎？函式，t是乙個週期。如 3.你掌握常用的圖象變換了嗎？注意如...