化抽象為具體-抽象函式問題轉化方法
抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，但給出了函式滿足的一部分性質或運算法則的函式問題。對考查學生的創新精神、實踐能力和運用數學的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷、遼寧卷、廣東卷等各有乙個抽象函式解答題，同樣2006高考重慶卷、遼寧卷、安徽卷等也出現抽象函式。
化抽象為具體,聯想模擬思維都有助於問題的思考和解決。
一、數形結合使抽象函式具體
一般地講，抽象函式的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據題意作出n個孤立的點，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利於觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處。
例1、設奇函式的定義域為，若當x時，是增函式且f(2)=o
求不等式x的解。
分析：f(x)的影象如圖所示
x>0時2x<0時-2例2、已知函式f（x）對一切實數x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有
4個不同的實根，求這些實根之和。
分析：由f（2+x）=f（2-x）知直線x=2是函式圖象的對稱軸，又f（x）=0有四根，現從
大到小依次設為x、x、x、x，則x與x，x與x均關於x=2對稱，
∴x+x= x+x=2×2=4x+x+x+x=8。
評注：一般地，若函式f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則直線x=a是函式圖象的對稱軸，
利用對稱性，數形結合，可使抽象函式問題迎刃而解。
二、利用單調性定義使問題具體
加上函式符號f即為「穿」，去掉函式符號f即為「脫」。對於有些抽象函式，可根據函式的單調性，實現對函式符號的「穿脫」，以達到簡化的目的。
例3已知f(x)是定義在（0，）上的增函式，且f()=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。f(x+5)- f()<2
分析：由f(6)=1，f()=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。
而 f(x+5)- f()<2「穿」f號得f(x+5)- f()又根據f(x)是定義在（0，）上的增函式，「脫」得x。
在結合函式的定義域可得：0三、模擬模型使解題思路具體
模型，就是根據題目給定的關係大膽猜想抽象函式的生成原始模型，作出目標猜想，利用模型函式的有關性質去探索解題方法尤其對選擇題或填空題中抽象函式也可賦於具體的背景函式以幫助作答。對於解答題則可以起到啟迪思路並起驗證作用。
例4、已知函式f（x）(x≠0)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f()=1
（1）求證：f(1)=f(-1)=0；
（2）求證：f(x)為偶函式；
（3）若f(x)在(0,+∞)上是增函式，解不等式f(x)+f(x+5)≤2。
分析：因為定義域為(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f(x)=logax(0＜a＜1）理解題意顯然不當，但是只要稍加變通，可以發現用f(x)=loga|x︳理解題意較為恰當，第（3）小題解不等式就可與解對數不等式模擬處理。
（1）令x=y=1得f(1)=0，令x=y= -1得f(-1)=0；
（2）令y= -1得f(-x)=f(x)；
（3）f(6)= f()+f() =2
∵f(x)為偶函式，∴f（x）+f（x+5)=f（|x|）+f（|x+5 |）=f（|x(x+5)|）≤f（6）。
o<|x(x+5)| ≤6 ∴
例4、已知函式f（x）對一切實數x、y滿足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2）f(x)在x∈r上是減函式。
分析：由f（x）= ax(0＜a＜1）理解題意。
（1）令x=y=0得f（0）=f 2（0），又f（0）≠0，f（0）=1，再令y=-x得f（x）（-x）=1，∵當時x＞0時，f（-x）＞1，∴0＜f（x）＜1；
（2）受指數函式的單調性啟發得，x＜0時，f（x）＞1；x＞0時，0＜f（x）＜1；x=0時，f（x）≠0，f（x）＞0。又∵f(x+y)=f(x)f(y), (x、y∈r) ,設x1＜x2，x+y= x1 ,x= x2則f(x1-x2)＞1，∵f(x2)＞0∴f(x1)＞f(x2),因此，f(x)在x∈r上是減函式。
四、賦值策略使問題具體
抽象函式常常以函式方程的形式出現，解決這類問題的時候讓變數取一些特殊值或特殊式，從而使問題解決，並具有一定的規律性。
例5．如果且，則
（ ）
a. 1002b. 1003c. 2004d. 2006
分析：所求的是函式值分式的和，從已知式變形知函式值商等於自變數值差的函式。
解： 例6 設f(x)是區間(0,1)上的函式，且同時滿足：對任意x(0,1)，恒有f(x)>0；對於任意,恒有+2.
試證明：（）對任意x(0,1)都有；（）對任意都有.
解：（ⅰ）令，由知+2，
由知+2， +=2.
上式取等號時=1，故.
（ⅱ）由已知及（ⅰ）得， ++，
，同理， .
例．7已知定義在r上的函式滿足：
（1） 值域為，且當時，
（2）對於定義域內任意的實數，均滿足：
試回答下列問題：
（ⅰ）試求的值；
（ⅱ）判斷並證明函式的單調性；
（ⅲ）若函式存在反函式，求證：．
講解：（ⅰ）在中，令，則有．即：．
也即：．
由於函式的值域為，所以，，所以．
（ⅱ）函式的單調性必然涉及到，於是，由已知，我們可以聯想到：是否有
？（＊）
這個問題實際上是：是否成立？
為此，我們首先考慮函式的奇偶性，也即的關係．由於，所以，在中，令，得．
所以，函式為奇函式．故（＊）式成立．所以，．
任取，且，則，故且．所以，
所以，函式在r上單調遞減．
（ⅲ）由於函式在r上單調遞減，所以，函式必存在反函式，由原函式與反函式的關係可知：也為奇函式；在上單調遞減；且當時，．
為了證明本題，需要考慮的關係式．
在（＊）式的兩端，同時用作用，得：，
令，則，則上式可改寫為：
．不難驗證：對於任意的，上式都成立．（根據一一對應）．
這樣，我們就得到了的關係式．這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端．
事實上，由於
，所以，．
所以，點評：一般來說，涉及函式奇偶性的問題，首先應該確定的值．
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