高考要求
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用「座標化」將其轉化為尋求變數間的關係這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點
重難點歸納
求曲線的軌跡方程常採用的方法有直接法、定義法、代入法、引數法
(1)直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關係，直接座標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程
(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求
(3)相關點法根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程
(4)引數法若動點的座標(x,y)中的x,y分別隨另一變數的變化而變化，我們可以以這個變數為引數，建立軌跡的引數方程
求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區別「軌跡」與「軌跡方程」是兩個不同的概念
1．直接法
由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用座標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．
例1：(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等於k的動點p的軌跡方程；
(2)過點a(a，o)作圓o∶x2+y2=r2(a＞r＞o)的割線，求割線被圓o截得弦的中點的軌跡．
對(1)分析：
動點p的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特徵，但是給出了動點p的運動規律：|op|=2r或|op|=0．
解：設動點p(x，y)，則有|op|=2r或|op|=0．
即x2+y2=4r2或x2+y2=0．
故所求動點p的軌跡方程為x2+y2=4r2或x2+y2=0．
對(2)分析：
題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直於弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：
設弦的中點為m(x，y)，鏈結om，
則om⊥am．
∵kom·kam=-1，
其軌跡是以oa為直徑的圓在圓o內的一段弧(不含端點)．
2．定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法．
例1．已知圓c：及圓內一點p（3，0），求過點p且與已知圓內切的圓的圓心m的軌跡方程。
1.若動圓與圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心軌跡方程是 （ ）
2.已知動圓與圓
和圓c2：都外切，求動圓圓心p的軌跡方程。
解：由條件知，oc中點記為則
故b點的軌跡方程是（去掉原點）
3．相關點法(代入法)：用動點q的座標x，y表示相關點p的座標x0、y0，然後代入點p的座標（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法．
例2．已知a（2，0），b，點c在直線上移動，求abc重心g的軌跡方程。
分析：重心g的運動是由點c在直線上運動引起的，因而設g（x,y），再用表示出點c的座標，就可以建立起點g的軌跡方程。
1.設圓，過原點作圓的弦oa，求oa中點b的軌跡方程.
2.已知拋物線y2=x+1，定點a(3，1)、b為拋物線上任意一點，點p**段ab上，且有bp∶pa=1∶2，當b點在拋物線上變動時，求點p的軌跡方程．
3.從定點a（0，4），連線雙曲線上任一點q，若，求點p的軌跡方程。
4．引數法：當動點座標x、y之間的直接關係難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關係，得再消去參變數t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做引數法．
例3．a、b是拋物線上的兩動點，且於p，求動點p的軌跡。解：設點p的座標（x，y），直線oa的方程為y=kx，
顯然，則直線ob的方程為由，解得a點的座標為類似地可得b點的座標為從而知當時故得直線ab的直線為
即直線op的方程為 ②
可知m點的座標同時滿足①、② 由① 及② 消去k使得
即，但當時，容易驗證p點的座標仍適合上述方程。故點p的軌跡方程為（）它表示以點（2a,0）為圓心，以2a為半徑的圓。
5.待定係數法
例4．求與雙曲線有共同漸進線，且過點的雙曲線的標準方程。
解：雙曲線方程可設為，將點的座標代入得：
故所求雙曲線的方程為
6．交軌法：將兩動曲線方程中的引數消去，得到不含引數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法．
例5．已知經過點p（4，0）的直線，經過q（-1，2）的直線為，若，求與交點s的軌跡方程。
分析：設、的斜率為、，則可由可求之。
解：設動點s的座標為（x,y），設、的斜率為、，
∵ 由有，
∴ 得：……①
當或時①式有解。 ∴s的軌跡方程為：
二、精選練習題
一、選擇題
1.(★★★★)已知橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓上的乙個動點，如果延長f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那麼動點q的軌跡是( )
a.圓b.橢圓 c.雙曲線的一支 d.拋物線
2.(★★★★)設a1、a2是橢圓=1的長軸兩個端點，p1、p2是垂直於a1a2的弦的端點，則直線a1p1與a2p2交點的軌跡方程為( )
a. b. c. d.
二、填空題
3.(★★★★)△abc中，a為動點，b、c為定點，b(－,0),c(,0)，且滿足條件sinc－sinb=sina,則動點a的軌跡方程為
4.(★★★★)高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的座標分別確定為a(－5，0)、b(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是
三、解答題
5.(★★★★)已知a、b、c是直線l上的三點，且|ab|=|bc|=6，⊙o′切直線l於點a，又過b、c作⊙o′異於l的兩切線，設這兩切線交於點p，求點p的軌跡方程.
6.(★★★★)雙曲線=1的實軸為a1a2，點p是雙曲線上的乙個動點，引a1q⊥a1p，a2q⊥a2p，a1q與a2q的交點為q，求q點的軌跡方程.
7.(★★★★★)已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線於點p、q.
(1)求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程；
(2)當m≠n時，求所得圓錐曲線的焦點座標、準線方程和離心率.
8.(★★★★★)已知橢圓=1(a＞b＞0),點p為其上一點，f1、f2為橢圓的焦點，∠f1pf2的外角平分線為l，點f2關於l的對稱點為q，f2q交l於點r.
(1)當p點在橢圓上運動時，求r形成的軌跡方程；
(2)設點r形成的曲線為c，直線l：y=k(x+a)與曲線c相交於a、b兩點，當△aob的面積取得最大值時，求k的值
曲線（軌跡）方程的求法
【內容解讀】軌跡問題是高中數學的乙個難點，常見的求軌跡方程的方法：
（1）單動點的軌跡問題——直接法＋ 待定係數法；
（2）雙動點的軌跡問題——代入法；
（3）多動點的軌跡問題——引數法 ＋ 交軌法。
【命題規律】軌跡問題在高考中多以解答題出現，屬中檔題。
例６、（2008深圳福田模擬）已知動圓過定點，且與直線相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；
(2) 是否存在直線，使過點（0，1），並與軌跡交於兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
解：（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：
即動點到定點與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點
為準線， ∴動圓圓心的軌跡方程為
（2）由題可設直線的方程為
由得設，，則，
由，即 ，，於是，
即，， ，解得或（捨去），
又， ∴ 直線存在，其方程為
點評：本題的軌跡問題採用拋物線的定義來求解，用圓錐曲線的定義求軌跡問題是經常採用的方法，要求充分掌握圓錐曲線的定義，靈活應用。
例７、（2008廣州模擬）已知曲線t上任意一點到兩個定點和的距離之和為4．
（1）求曲線t的方程；
（2）設過的直線與曲線t交於、兩點，且（為座標原點），求直線的方程．
解：（1）根據橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，
其中，，則． 所以動點m的軌跡方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，
由方程組得．
則，，代入①，得．
即，解得，或．所以，直線的方程是或
點評：本題考查橢圓的定義，橢圓與向量結合的綜合題的解法。
例８、（2008廣東吳川模擬）已知點和圓c：，（1）求經過點p被圓c截得的線段最長的直線的方程；
（2）過p點向圓c引割線，求被此圓截得的弦的中點的軌跡。
解：（1）化圓的方程為圓心座標：
由題意可得直線經過圓c的圓心，由兩點式方程得：
化簡得：直線的方程是：
（2）解：設中點
cm⊥pm ∴是
有：即：
化簡得：
故中點m的軌跡是圓在圓c內部的一段弧。
點評：合理應用平面幾何知識，這是快速解答本題的關鍵所在。要求掌握好平面幾何的知識，如勾股定理，垂徑定理等初中學過的知識要能充分應用。
高考 高考數學求軌跡方程的幾種常用方法
求軌跡方程的幾種常用方法 求軌跡的方程，是學習解析幾何的基礎，求軌跡的方程常用的方法主要有 1 直接法 若命題中所求曲線上的動點與已知條件能直接發生關係，這時，設曲線上動點座標為 後，就可根據命題中的已知條件，研究動點形成的幾何特徵，在此基礎上運用幾何或代數的基本公式 定理等列出含有的關係式。從而得...
曲線的軌跡方程的求法
課題 求軌跡方程 二 二 待定係數法 例1 雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y 為c的一條漸近線.求雙曲線c的方程 變式練習 1 設中心在原點的橢圓與雙曲線 1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是 2 已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的乙個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為 ...
求曲線的軌跡方程 二
四中高二數學導學學案 十六 朱強基編寫 求曲線的軌跡方程 二 三 代入法 或叫相關點法 有些問題是當乙個點在某種曲線上運動時，另乙個點也隨之運動。解這類問題的一般方法和步驟是 1 設要求軌跡的那個動點的座標為 x,y 已知動點的座標為 m,n 根據題意找到 x,y 與 m,n 的關係，2 用 x,y...