線性系統的根軌跡
一、 實驗目的
1． 熟悉matlab用於控制系統中的一些基本程式設計語句和格式。
2． 利用matlab語句繪製系統的根軌跡。
3． 掌握用根軌跡分析系統效能的**方法。
4． 掌握系統引數變化對特徵根位置的影響。
二、 實驗內容
1． 請繪製下面系統的根軌跡曲線。
同時得出在單位階躍負反饋下使得閉環系統穩定的k值的範圍。
2． 在系統設計工具rltool介面中，通過新增零點和極點方法，試湊出上述系統，並觀察增加極、零點對系統的影響。
三、 實驗結果及分析
1.（1）的根軌跡的繪製：
matlab語言程式：
num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0];
rlocus(num,den)
r,k]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('real axis'),ylabel('imaginary axis')
title('root locus')
執行結果：
選定圖中根軌跡與虛軸的交點，單擊滑鼠左鍵得：
selected_point =
0.0021 + 0.9627i
k =28.7425
r =2.8199 + 2.1667i
2.8199 - 2.1667i
2.3313
0.0145 + 0.9873i
0.0145 - 0.9873i
結論： 根軌跡與虛軸有交點，所以在k從零到無窮變化時，系統的穩定性會發生變化。由根軌跡圖和執行結果知，當0（2）的根軌跡的繪製：
matlab語言程式：
num=[1 12]；
den=[1 23 242 1220 1000];
rlocus(num,den)
k,r]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('real axis'),ylabel('imaginary axis')
title('root locus')
執行結果：
選定圖中根軌跡與虛軸的交點，單擊滑鼠左鍵得：
selected_point =
0.0059 + 9.8758i
k =1.0652e+003
r=11.4165 + 2.9641i
11.4165 - 2.9641i
0.0835 + 9.9528i
0.0835 - 9.9528i
結論： 根軌跡與虛軸有交點，所以在k從零到無窮變化時，系統的穩定性會發生變化。
由根軌跡圖和執行結果知，當0（3）的根軌跡的繪製：
matlab語言程式：
num=[0.05 1]；
den=[0.0008568 0.01914 0.1714 1 0];
rlocus(num,den)
k,r]=rlocfind(num,den)
grid
xlabel('real axis'),ylabel('imaginary axis')
title('root locus')
執行結果：
選定圖中根軌跡與虛軸的交點，單擊滑鼠左鍵得：
selected_point =
0.0237 + 8.3230i
k =7.6385
r =0.0916 + 8.4713i
0.0916 - 8.4713i
11.0779 + 1.2238i
11.0779 - 1.2238i
結論： 根軌跡與虛軸有交點，所以在k從零到無窮變化時，系統的穩定性會發生變化。
由根軌跡圖和執行結果知，當0（4）根軌跡繪製規則分析：
由以上根軌跡圖知，根軌跡起於開環極點，終於開環零點。在復平面上標出系統的開環零極點後，可以根據其零極點數之和是否為奇數確定其在實軸上的分布。根軌跡的分支數等於開環傳遞函式分子分母中的最高端次，根軌跡在復平面上是連續且關於實軸對稱的。
當開環傳遞函式的分子階次高於分母階次時，，根軌跡有n-m條沿著其漸近線趨於無窮遠處。根軌跡位於實軸上兩個相鄰的開環極點或者相鄰零點之間存在分離點，兩條根軌跡分支在復平面上相遇在分離點以某一分離角分開；不在實軸上的部分，根軌跡以起始角離開開環復極點，以終止角進入開環復零點。有的根軌跡隨著k的變化會與虛軸有交點。
在畫圖時，確定了以上的各個引數或者特殊點後，就可得系統的根軌跡概略圖。
2. 觀察增加極、零點對系統的影響：
（1）通過新增零、極點湊系統：
先令g(s)=1/s,則可得其單位階躍響應波形圖為
然後逐步新增如下：
第一步、新增共軛極點-1+j1和-1-j1得到g(s)=1/[s(s2+2s+2)]，執行可得其單位階躍
響應波形為
第二步、新增共軛極點-3+j2和-3-j2得到g(s)=1/[s(s2+2s+2)( s2+6s+13)]，執行後可
得其單位階躍響應波形為
（2）通過新增零、極點湊系統：
先令g(s)=1/(s+1),則可得其單位階躍響應波形為
然後逐步新增如下：
第一步、新增共軛極點-6+j8和-6-j8得到g(s)=1/[(s+1)(s2+12s+100)]，執行後可得其
單位階躍響應波形為
第二步、新增極點-10得到g(s)=1/[(s+1)(s2+12s+100)(s+10)]，執行後可得其單位階
躍響應波形為
第三步、新增零點-12得到g(s)=(s+12)/[(s+1)(s2+12s+100)(s+10)], 執行後可得其單
位階躍響應波形為
（3）通過新增零、極點湊系統：
先令g(s)=1/s,則可得其單位階躍響應波形圖為
然後逐步新增如下：
第一步、新增極點-1/0.0714得到g(s)=1/[s(0.0714s+1)], 執行後可得其單位階躍響應
波形為第二步、新增一對共軛極點，即分子新增項（0.012s2+0.1s+1）後可得到
g(s)=1/[s(0.0714s+1)( 0.012s2+0.1s+1)]
執行後可得其單位階躍響應波形為
第三步、新增極點-20得到g(s)=1/[s(0.0714s+1)( 0.012s2+0.1s+1)(0.05s+1)]，執行後可得
其單位階躍響應波形為
（4）結論：
由圖知，給系統新增開環極點會使系統的階次公升高，若新增的合理，會使系統的穩態誤差減小，同時若新增的不合理，反倒會使系統不穩定；給系統新增開環零點，可使原來不穩定的系統變成穩定的系統。
四、 實驗心得與體會
本次實驗我們首先熟悉了matlab用於控制系統中的一些基本程式設計語句和格式，隨後又利用matlab語句繪製系統的根軌跡。課本中介紹的手工繪製根軌跡的方法，只能繪製根軌跡草圖，而用matlab可以方便地繪製精確的根軌跡圖，並可通過自己新增零極點或者改變根軌跡增益的範圍來觀測引數變化對特徵根位置的影響。
在繪製系統根軌跡的過程中，我們逐漸掌握了用根軌跡分析系統效能的**方法。根軌跡分析法較時域分析法更加方便和直觀，它讓我們看到了引數變化對系統效能的影響具體方面，讓我們理解得更加透徹。
要求：正文用小四宋體，1.5倍行距，圖表題用五號宋體，圖題位於圖下方，表題位於表上方。
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