數學模型可以有許多不同的形式，較常見的有三種：
第一種是：把系統的輸入量和輸出量之間的關係用數學方式表達出來，稱之為輸入輸出描述，或外部描述；
例如：微分方程序、傳遞函式和差分方程。
第二種是：不僅可以描述系統輸入、輸出之間的關係，而且還可以描述系統的內部特性，稱之為狀態空間描述或內部描述；
它特別適用於多輸入、多輸出系統，也適用於時變系統、非線性系統和隨機控制系統。
第三種是：用比較直觀的方塊圖（結構圖）和訊號流圖模型進行描述。
同一系統的數學模型可以表示為不同的形式，需要根據不同的情況對這些模型進行取捨，以利於對控制系統進行有效的分析。
許多表面上完全不同的系統（如機械系統、電氣系統、液壓系統和經濟學系統）有時卻可能具有完全相同的數學模型；
從這個意義上講，數學模型表達了這些系統的共性，所以只要研究透了一種數學模型，也就能完全了解具有這種數學模型形式的各式各樣系統的本質特徵。
對於線性定常系統，採用下列微分方程來描述：
式中，和分別是系統的輸入訊號和輸出訊號，為對時間的階導數； 和是由系統的結構引數決定的係數。
一般情況下，列寫控制系統運動方程的步驟是(建模過程):
首先，分析系統的工作原理及其各變數之間的關係，找出系統的輸入量和輸出量；
其次，根據系統運動特性的基本定律，一般從系統的輸入端開始依次寫出各元件的運動方程，在列寫元件運動方程時，需要考慮相接元件間的相互作用；
最後，由組成系統各元件的運動方程中，消去中間變數，求取只含有系統輸入和輸出變數及其各階導數的方程，並將其化為標準形式。
控制系統的微分方程是在時間域描述系統動態效能的數學模型，在給定外部作用和初始條件下，求解微分方程可以得到系統的輸出響應。
這種方法比較直觀，特別是借助於電子計算機可以迅速而準確地求得結果。
但是，如果系統的結構改變或某個引數變化時，就要重新列寫並求解微分方程，不便於對系統進行分析和設計。
拉氏變換是傳遞函式的數學基礎，因此在討論傳遞函式之前先簡要介紹一下拉氏變換的有關概念、性質和結論。
1. 拉氏變換的定義
若將實變數的函式乘上指數函式（其中是乙個複數），並且在上對積分，就可以得到乙個新的函式，稱為的拉氏變換，並用符號表示。
上式就是拉氏變換的定義式。從這個定義可以看出，拉氏變換將原來的實變數函式轉化為復變數函式。通常將稱作的象函式，將稱作的原函式。常用函式的拉氏變換見附錄a。
一、 傳遞函式的定義
線性定常系統的傳遞函式為：零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。
設線性定常系統由下面的n階線性常微分方程描述：
式中，和分別是系統的輸入訊號和輸出訊號，為對時間的階導數； 和是由系統的結構引數決定的常係數。如果和及其各階導數在時的值均為零，即滿足如下的零初始條件
則根據拉氏變換的定義和性質，對進行拉氏變換，並令，可得由得到
， l
由傳遞函式的定義可得系統的傳遞函式為
式中和分別稱為傳遞函式的分子多項式和分母多項式。
狀態空間描述是現代控制理論的基礎，它不僅可以描述輸入輸出關係，而且可以描述系統的內部特性，特別適合於多輸入多輸出系統，也適用於時變系統、非線性系統和隨機控制系統。從這個意義上講，狀態空間描述是對系統的一種完全描述。
狀態：指系統的運動狀態。設想有乙個質點作直線運動，這個系統的狀態就是質點每乙個時刻的位置和速度。
狀態變數:指足以完全表徵系統運動狀態的的一組變數。若知道這些變數在任何初始時刻的值和時系統所加的輸入函式，便可完全確定在任何時刻的狀態。
乙個用階微分方程描述的系統，有個獨立變數，當這個獨立變數的時間響應都求得時，系統的運動狀態也就完全披揭示了。因此可以說，系統的狀態變數就是階系統的個獨立變數。需要指出，對同乙個系統，選取哪些變數作為狀態變數並不是唯一的，但這些變數必須是互相獨立的，且個數等於微分方程的階數。
對於一般物理系統，微分方程的階數唯一地取決於系統中獨立儲能元件的個數。因此，系統狀態變數的個數又可以說等於系統中獨立儲能元件的個數。
狀態向量：如果個狀態變數用、、、表示，並把這些狀態變數看作是向量的分量，則向量稱為狀態向量。記為
或狀態空間：以狀態變數、、、為座標軸構成的維空間。系統在任意時刻的狀態都可用狀態空間中的乙個點來表示。
已知初始時刻的狀態，可得到狀態空間中的乙個初始點。隨著時間的推移，將在狀態空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態軌跡線。
狀態方程:描述系統的狀態變數與系統輸入量之間關係的一階微分方程組，稱為系統的狀態方程。
輸出方程:描述系統輸出量與狀態變數間的函式關係式，稱為系統的輸出方程。
狀態空間表示式:狀態方程與輸出方程組合起來，就構成對乙個系統動態的完整描述，稱之為狀態空間表示式。
通常，對於單變數系統(單輸入單輸出)，狀態方程習慣寫成如下形式
輸出方程為
寫成矩陣向量形式為
式中表示維狀態向量；
，，，d
a、b、c、d分別表示系統內部狀態的係數矩陣（系統矩陣）、輸入對狀態作用的輸入矩陣、輸出與狀態關係的輸出矩陣、直接聯絡輸入量與輸出量的直接傳遞函式（或稱前饋係數）。
推廣到[, , , ]的系統，其狀態空間表示式為
寫成矩陣向量形式為
式中和a同單變數系統。
表示p維輸入向量；
表示輸入矩陣；
表示q維輸出向量；
表示輸出矩陣；
表示直接傳遞函式矩陣。
上述系統可簡稱為系統。
用狀態空間表示式描述的系統也可以用框圖2-25表示系統的結構和訊號傳遞的關係。圖中的雙線箭頭表示向量訊號傳遞。
同一系統的兩種不同模型（傳遞函式和狀態空間表示式）之間存在內在的聯絡，並且可以互相轉化。以下是對單輸入、單輸出系統的討論。
設要研究的系統的傳遞函式為
該系統在狀態空間可表示為
式中為狀態向量，分別為輸入量和輸出量。在零初始條件假設下，方程和的拉氏變換為
所以有其中i為單位矩陣。用乘上式兩邊，有
第二章線性系統的狀態空間描述
2 併聯實現 1 只含單實極點的情況 設可分解為 式中為n階系統的單實極點，則可化為對角標準型。那麼傳遞函式可展成 式中 取狀態變數 整理後有 即狀態方程為 又有 即輸出方程為 向量 矩陣形式為 對角形動態方程的狀態變數圖為 由於對角形動態方程的狀態變數圖 例2.2.9 已知系統傳遞函式為，試求狀態...
第二章管理理論的發展
如果你理解管理理論，但不具備管理技術和管理工具的運用能力，你還不是乙個有效的管理者 反過來，如果你具備管理技巧和能力，而不掌握管理理論，那麼充其量你只是個技術員。彼得 德魯克 知道事物應該是什麼樣，說明你是聰明的人 知道事物實際是什麼樣，說明你是有經驗的人 知道怎樣使事物變得更好，說明你是有才能的人...
第二章國際貿易的理論
第一節古典 理論 本節主要涉及的問題 重商主義對外 學說 絕對成本論 比較成本論 相互需求論 要素稟賦論 里昂惕夫之迷 一 重商主義對外 學說 主要內容 重商主義 從15世紀初到18世界中葉 認為貨幣 金 銀 是財富的唯一形式，所以強調金 銀的多寡是衡量一國繁榮的標誌，因此，國家應取消進口 以免金 ...