（2）併聯實現
1）只含單實極點的情況
設可分解為
式中為n階系統的單實極點，則可化為對角標準型。那麼傳遞函式可展成：
式中：取狀態變數： ，
整理後有：， 即狀態方程為：
又有： 即輸出方程為：
向量—矩陣形式為：
對角形動態方程的狀態變數圖為：
由於對角形動態方程的狀態變數圖
【例2.2.9】已知系統傳遞函式為，試求狀態空間表示式。
解：其中：
動態方程為：
， 2）含重實極點的情況
當中含重實極點時，不僅可以化為可控、可觀測標準型，還可以化為約當形動態方程。例如：
【例2.2.10】已知系統傳遞函式為，試求約當型狀態空間表示式。
解：其中：
動態方程為：
， 即
【例2.2.11】已知系統傳遞函式為，試求約當型狀態空間表示式。
解：其中：
動態方程為：
， §2-3 線性系統狀態空間表示式的線性變換及其標準型
一、狀態空間表示式的線性變換
回顧前面幾節有關系統動態方程建立的過程，無論是從實際物理系統出發，還是從系統結構圖出發，還是從系統微分方程或傳遞函式出發，在狀態變數的選取方面都帶有很大的人為的隨意性，因而求得的系統的狀態方程也有很大的隨意性，因此會得出不同的系統動態方程。實際物理系統雖然結構不可能變化，但不同的狀態變數取法就產生不同的動態方程；系統結構圖在取狀態變數之前需要進行等效變換，而等效變換過程就有很大程度上的隨意性，因此會產生一定程度上的結構差異，這也會導致動態方程差異的產生；從系統微分方程或傳遞函式出發的系統實現問題，更是會導致迥然不同的系統內部結構的產生，因而也肯定產生不同的動態方程。所以說同一系統選取不同的狀態變數便有不同形式的動態方程。
1、非奇異線性變換
對於狀態向量，我們總可以找到某個非奇異矩陣p，將原狀態向量作線性變換，得到另乙個新的狀態向量，令
變換前系統動態方程為：
變換後系統動態方程為：
式中：2、非奇異線性變換的不變特性
線性定常系統經非奇異變換後，其特徵多項式、特徵方程、傳遞函式不變。
二、系統特徵值和特徵向量（預備知識）
定義：設是乙個的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量，使
則稱為的特徵值，任何滿足的非零向量稱為的對應於特徵值的特徵向量。
1、特徵值的計算
【例2.3.1】求下列矩陣的特徵值。
解： 解出特徵值，，
2、特徵向量的計算
【例2.3.2】求下列矩陣的特徵向量。
解：（1）的特徵值在上例中已求出
（2）計算對應於特徵值的特徵向量，有。
設，即有
計算整理後有：
解出：，
令：，則
（3）同理可算出的特徵向量
的特徵向量
三、動態方程的幾種標準型
1、動態方程的對角標準型
對於線性系統
若a的特徵值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣p
使原狀態空間表示式變換為對角標準型。
式中：其中，是矩陣a的特徵值。
變換矩陣p由a的特徵向量構造，即
分別為對應於特徵值的特徵向量。
【例2.3.3】試將下列動態方程變換為對角標準型。
解：（1）a的特徵值和特徵向量已在前面兩例中算出：
（2）用構造變換矩陣p，並求。
（3）計算， ，
，，於是變換後的動態方程為：
，【例2.3.4】試將下列動態方程變換為對角標準型。
解：系統特徵多項式為，解出特徵值為，，
由於a為友矩陣，並且有互異實特徵值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：
則 ，，
於是變換後的動態方程為：
， 【例2.3.5】試將下列動態方程變換為對角標準型。
解：採用另一種方法：
（1）系統特徵多項式為，解出特徵值為，，
（2）可由，進而求出。令：
並帶入，有
解出，則
（3）計算，
2、動態方程的約當標準型
如果a陣具有重實特徵根，又可分為兩種情況：
①a陣雖有重特徵值，但矩陣a仍然有n個獨立的特徵向量。這種情況同特徵值互異時一樣，仍可以把a劃分為對角標準型。
②另一種情況是矩陣a不但具有重特徵值，而且其獨立特徵向量的個數也低於n。對於這種情況，a陣雖不能變換為對角標準型，但可以變換為約當標準型。
（1）約當塊和約當陣
形如、的矩陣，稱為約當塊。
由若干個約當塊組成的準對角線矩陣稱為約當矩陣。如
（2）設a陣具有m重實特徵值，且只有乙個獨立實特徵向量與之對應，則只能使a化為約當陣j。
變換矩陣
式中，，…，是的廣義實特徵向量，滿足：
而，…，是互異特徵值對應的實特徵向量。
【例2.3.6】試將下列動態方程變換為約當標準型。
解：（1）系統特徵多項式為，
解出特徵值為，
（2）對應於特徵值的特徵向量，有，即
解出：由於，故對應特徵值的獨立特徵向量只有乙個(因為)，另乙個為廣義特徵向量，設為，根據
即解出此方程組
最後確定的特徵向量
解出：（3）構造變換陣p：
（4）計算：
，（3）設a為友矩陣，具有m重實特徵值，且只有乙個獨立實特徵向量與之對應，則使a化為約當陣j的變換陣p為：
其中：【例2.3.7】試將下列動態方程變換為約當標準型。
解：（1）系統特徵多項式為，
解出特徵值為，
（2）構造變換陣p
由於a為友矩陣，故
因此（3）計算：
，（4）設a具有重實特徵值，即
且滿足,那麼則使a化為約當陣的變換陣p為：
式中各分量可由如下公式確定：
矩陣a的特徵值對應的約當塊數可表示為：
對應的≥2階約當塊的塊數，可表示為：
同理，的≥3階約當塊的塊數，可表示為：
以後依此類推。
【例2.3.8】試將已知的a陣變換為約當型。
解：（1）系統特徵多項式為，
解出特徵值為，
（2）構造變換陣p
對應，有
由再根據而對應於的特徵向量，可由下式求出：
由故而矩陣a對應的約當塊的塊數：
即對應共有1個約當塊。
矩陣a對應的≥2階約當塊的塊數：
說明≥2階約當塊的塊數為1塊。
（3）2－6 從系統動態方程求系統傳遞函式（陣）
系統動態方程和系統傳遞函式（陣）都是控制系統兩種經常使用的數學模型。動態方程不但體現了系統輸入輸出的關係，而且還清楚地表達了系統內部狀態變數的關係。相比較，傳遞函式只體現了系統輸入與輸出的關係。
我們已知道，從傳遞函式到動態方程是個系統實現的問題，這是乙個比較複雜的並且是非唯一的過程。但從動態方程到傳遞函式（陣）卻是乙個唯一的、比較簡單的過程。
設系統動態方程為：
2－44)
其中，x、y、u分別為n×1、m×1、r×1的列向量，a、b、c、d 分別為n×n、n×r、m×n 、m×r的矩陣。（2-44）式描述的是乙個r維輸入m維輸出的多入多出（mimo）系統。
將（2-44）中的狀態方程和輸出方程兩端作拉氏變換，並設系統初態為0，則：
所以：x(s)=(si-a)bu(s)
代入y(s)方程，得：
y(s)=c(si-a)bu(s)+du(s)=[c(si-a)b+d]u(s)
所以系統傳遞函式陣w(s)為：
2－45）
w(s)為乙個m×r的傳遞函式陣，即：
其中，為一標量傳遞函式，它表示第j個系統輸入對第i個系統輸出的傳遞作用。當系統為單入單出（siso）系統時，w(s)就是乙個標量傳遞函式。
【例2-12】求例2-11中產生的動態方程（2-43）的傳遞函式。
【例2-11】將下列（a,b,c,d）組成的動態方程轉換為約當標準型。
第二章現在控制理論線性系統的數學描述
數學模型可以有許多不同的形式，較常見的有三種 第一種是 把系統的輸入量和輸出量之間的關係用數學方式表達出來，稱之為輸入輸出描述，或外部描述 例如 微分方程序 傳遞函式和差分方程。第二種是 不僅可以描述系統輸入 輸出之間的關係，而且還可以描述系統的內部特性，稱之為狀態空間描述或內部描述 它特別適用於多...
第二章統計的整理與描述
極差和四分位數間距均沒有利用所研究資料的全部資訊，因此仍然不足以完整地反映資料的離散程度。方差 variance 和標準差 standard deviation 由於利用了所有的資訊，而得到了廣泛應用，常用於描述正態分佈資料的離散程度。變異係數 coefficient of variance，cv ...
第二章物流系統
第一節物流系統概述 1.系統的定義 單選 系統主要指由一組功能相互關聯的要素 變數 組成部分或目標組成的統一的整體。2.物流系統的定義 單選 物流系統是由相互存在有機聯絡的物流各要素所組成的綜合體。3.物流系統的一般規律 1 確定物流服務水平。2 效益背反現象。3 成本與服務的權衡。4.物流系統的基...