1、狀態反饋與極點配置
狀態反饋是指從狀態變數到控制端的反饋，如圖3所示。
設原系統動態方程為：
引入狀態反饋後，系統的動態方程為：
圖3 狀態反饋
狀態反饋極點配置問題就是：通過狀態反饋矩陣k的選取，使閉環系統式(4.2)的極點，即的特徵值恰好處於所希望的一組給定閉環極點的位置上。
線性定常系統可以用狀態反饋任意配置極點的充分必要條件是：該系統必須是完全能控的。所以，在實現極點的任意配置之前，必須判別受控系統的能控性。
例8.1 已知有以下系統
希望將閉環系統的極點配置在s1,2,3,4=-1,-2,-1+j,-1-j
解：參考程式：
a=[-5 8 0 0;-4 7 0 0;0 0 0 4;0 0 -2 6];
b=[4;-2;2; 1];
p=[-1,-2,-1+sqrt(-1),-1-sqrt(-1)];
k=place(a,b,p)
執行結果：
??? error using ==> place
can't place eigenvalues there.
說明：對於不完全可控的系統，解決辦法：將系統分解成可控部分和不可控部分，可控部分可以將極點配置到任意的位置。
2、輸出反饋與極點配置
輸出反饋指從輸出端到狀態變數導數的反饋，如圖4所示。
設原系統動態方程為：
引入輸出反饋後，系統的動態方程為：
圖4 輸出反饋
極點配置演算法：
ackerman演算法
– k=acker (a,b,p)
魯棒演算法
– k=place (a,b,p)
– 函式place( )不適用於含有多重期望極點的配置問題。
例8.2 已知物件模型
如何將閉環系統的極點配置在s1,2,3,4= -1，-2，-1±j？
參考程式：
>> a=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
b=[0;1;0;-1];
eig(a)' %特徵值
p=[-1, -2, -1+sqrt(-1), -1-sqrt(-1)];
k=place (a,b,p) %極點配置
eig(a-b*k)'
執行結果：
ans =
0 0 3.3166 -3.3166
k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000
ans =
-2.00001.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000
可以看出，受控系統的極點位置確定位於0，0，3.3166，-3.3166，即該受控系統是不穩定的。
應用極點配置技術，我們可以將系統的閉環極點配置到某些期望的位置上，從而使得閉環系統得到穩定，並同時得到較好的動態特性。
例8.3 已知物件模型
利用matlab實現將其中的兩個極點配置到。
本題程式參考：
a=[0,1,0,0;0,5,0,0;0,0,-7,0;0,0,0,-8];
b=[1;1;3;4];c=[0,5,0,8];
p=eig(a)'
p1=p
p1(1:2)=[-1,-2]
k1=place(a,b,p1)
eig(a-b*k1)'
執行結果：
p = 0 5 -7 -8
p1 =
0 5 -7 -8
p1 =
-1 -2 -7 -8
k1 =
-0.5000 8.5000 0.0000 0
ans =
-8.0000 -1.0000 -2.0000 -7.0000
如果需要配置三個極點，則例如
p2=p;p2(1:3)=[-1,-2,-3];
k2=place(a,b,p2),eig(a-b*k2)',
如果受控系統並不是完全能控的，那麼我們只能將其中能控的極點配置到指定的位置，稱為部分極點配置問題，而實現部分極點配置的前提條件是：受控系統沒有重極點。
結論：對受控系統中不可控的模態而言，若其是不穩定的，則我們不可能通過狀態反饋的方法將其變成穩定的模態。
例8.4 已知物件模型
(1) 如果我們想將閉環系統的極點配置到-1,-2,-3，利用matlab設計控制器，並繪出閉環系統的階躍響應曲線。(說明：用兩種方法配置極點)
參考程式一：
>> a=[-0.3 0.1 -0.05;1 0.1 0;-1.5 -8.9 -0.05 ];
b=[2;0;4]; c=[1 2 3];
p=[-1, -2, -3]; k=place (a',c',p)'
執行結果：
k = -0.1731
-0.3681
2.2197
參考程式二：
a=[-0.3 0.1 -0.05;1 0.1 0;-1.5 -8.9 -0.05 ];
b=[2;0;4]; c=[1 2 3];
p=[-1, -2, -3]; k=acker (a',c',p)'
執行結果：
k = -0.1731
-0.3681
2.2197
*(2) 如果想將閉環系統的所有極點均配置到-1，怎樣設計控制器？
說明：若希望極點均配置到-1，即多重極點配置，應該使用acker( )函式。
例8.5 以試驗三磁懸浮模型為研究物件，如何通過狀態反饋配置極點，改善系統的效能。
num=1
den=[1 40 20.5 -157552]
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
g=ss(a,b,c,d)
[y,t,x]=step(g)
p=[-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)]
k=place(a,b,p)
eig(a-b*k)
cn=[b,a*b,a^2*b]
rank(cn)
a1=a-b*k
g1=ss(a1,b,c,d)
[y,t]=step(g1)
plot(t,y)
第4章非線性規劃張
第四章非線性規劃模型 第一節非線性規劃的例項與基本概念 一 非線性規劃的例項 例1 化學反應的平衡組成 設現有原料由種原子組成，各種原子數量依次為共生成種分子 產品 設生產數量 待求 依次為。設第種分子中含各種原子的數量依次為 所有產品中含第種原子數之和為 由熟知的質量守恆定律有 在一定的溫度 壓力...
第4章非線性規劃張
第四章非線性規劃模型 第一節非線性規劃的例項與基本概念 一 非線性規劃的例項 例1 化學反應的平衡組成 設現有原料由種原子組成，各種原子數量依次為共生成種分子 產品 設生產數量 待求 依次為。設第種分子中含各種原子的數量依次為 所有產品中含第種原子數之和為 由熟知的質量守恆定律有 在一定的溫度 壓力...
第二章線性系統的狀態空間描述
2 併聯實現 1 只含單實極點的情況 設可分解為 式中為n階系統的單實極點，則可化為對角標準型。那麼傳遞函式可展成 式中 取狀態變數 整理後有 即狀態方程為 又有 即輸出方程為 向量 矩陣形式為 對角形動態方程的狀態變數圖為 由於對角形動態方程的狀態變數圖 例2.2.9 已知系統傳遞函式為，試求狀態...