2.1 學習要求
（1）會建立描述系統激勵與響應關係的微分方程；
（2）深刻理解系統的完全響應可分解為：零輸入響應與零狀態響應，自由響應與強迫響應，瞬態響應與穩態響應；
（3）深刻理解系統的零輸入線性與零狀態線性，並根據關係求解相關的響應；
（4）會根據系統微分方程和初始條件求解上述幾種響應；
（5）深刻理解單位衝激響應的意義，並會求解；
（6）深刻理解系統起始狀態與初始狀態的區別，會根據系統微分方程和輸入判斷0時刻的跳變情況；
（7）理解卷積運算在訊號與系統中的物理意義和運算規律，會計算訊號的卷積。；
2.2 本章重點
（1）系統（電子、機械）數學模型（微分方程）的建立；
（2）用時域經典法求系統的響應；
（3）系統的單位衝激響應及其求解；
（4）卷積的定義、性質及運算，特別是函式形式與其它訊號的卷積；
（5）利用零輸入線性與零狀態線性，求解系統的響應。
2.3 本章的知識結構
2.4 本章的內容摘要
2.4.1系統微分方程的建立
電阻電感：
電容：2.4.2 系統微分方程的求解
齊次解和特解。
齊次解為滿足齊次方程
當特徵根有重根時，如有重根，則響應於的重根部分將有項，形如
當特徵根有一對單復根，即，則微分方程的齊次解
當特徵根有一對重複根，即共有重的復根，則微分方程的齊次解
特解的函式形式與激勵函式的形式有關。
注:(1)表中、是待定係數。
(2)若由幾種激勵組合而成，則特解也為其相應的組合。
(3)若表中所列特解與齊次解重複，則應在特解中增加一項：倍乘表中特解。假如這種重
復形式有次（特徵為次），則依次增加倍乘，，…，諸項。
2.4.3起始點的跳變-從到狀態的轉換
在系統分析中，定義響應區間為確定激勵訊號加入後系統的狀態變化區間。一般激勵都是從時刻加入，此時系統的響應區間定義為。
當系統用微分方程表示時，系統從到狀態有沒有跳變取決於微分方程右端自由項是否包含及其各階導數項。如果包含有及其各階導數項，說明相應的到狀態發生了跳變，即或等等。這時為確定、等狀態，可以用衝激函式匹配法。
2.4.4系統的零輸入響應與零狀態響應
（1）零輸入響應
系統的零輸入響應是當系統沒有外加激勵訊號時的響應。
零輸入響應是滿足
及起始狀態的解,它是齊次解的一部分
由於沒有外界激勵作用，因而系統的狀態不會發生跳變，，所以中的常數可由確定。
（2）零狀態響應
所謂零狀態，是指系統沒有初始儲能，系統的起始狀態為零，即
這時僅由系統的外加激勵所產生的響應稱為零狀態響應。
零狀態響應由起始狀態為零時的方程
所確定。
系統的零狀態響應為
其中和分別為齊次解和特解。
系統的線性：
條件1 系統響應可以分解為零輸入響應與零狀態響應之和。
條件2 零輸入線性，即零輸入響應與初始狀態或之間滿足線性特性。
條件3 零狀態線性，即零狀態響應與激勵之間滿足線性特性。
2.2.5連續時間系統的衝激響應與階躍響應
（1）衝激響應
系統在單位衝激訊號作用下產生的零狀態響應，稱為單位衝激響應，簡稱衝激響應，用表示。亦即，衝激響應是激勵為單位衝激訊號時系統的零狀態響應。
在時域中，子系統級聯時，總的衝激響應等於子系統衝激響應的卷積。
因果系統的衝激響應為
（2）階躍響應
一線性時不變系統，當其初始狀態為零時，輸入為單位階躍函式所引起的響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用表示。階躍響應是激勵為單位階躍函式時，系統的零狀態響應
階躍響應與衝激響應之間的關係為
或2.2.6 卷積積分
（1）卷積積分的概念
一般情況下，如有兩個訊號和做運算
此運算定義為和的卷積(convolution)，簡記為
或（2）卷積積分的**法
用**法能直觀地說明卷積積分的計算過程，而且便於理解卷積的概念。兩個訊號和的卷積運算可通過以下幾個步驟來完成：
第一步，畫出和波形，將波形圖中的軸改換成軸，分別得到和的波形。
第二步，將)波形以縱軸為中心軸翻轉180°，得到波形。
第三步，給定乙個值，將波形沿軸平移。在時，波形往左移，在時，波形往右移，這樣就得到了的波形。
第四步，將和相乘，得到卷積積分式中的被積函式。
第五步，計算乘積訊號波形與軸之間包含的淨面積。
第六步，令變數在範圍內變化，重複第
三、四、五步操作，最終得到卷積訊號。
（3）卷積運算的性質
性質1 乘法運算中的交換律、結合律和結合律適應於卷積運算
交換律結合律
分配律性質2 訊號與奇異訊號的卷積
訊號與衝激訊號的卷積等於訊號本身，即
訊號與衝激偶的卷積等於的導函式，即
訊號與階躍訊號的卷積等於訊號的積分,即
性質3 卷積的微分與積分
如果，則有
如果，則。
設，則有
2.2.7 用卷積積分法求系統的零狀態響應
對於任一時刻系統的零狀態響應為
2.2.8 相關
如果和是兩個能量有限的訊號，且均為實函式，則它們之間的相關函式（又稱為互相關函式）定義為
和 互相關性質：。
當和是同乙個訊號時，即，則它們之間的相關函式（又稱為自相關函式）定義為
自相關函式性質：
（1）（2）時，相關性最強，最大。
如果和是功率有限訊號，且均為實函式，那麼互相關函式定義為
和自相關函式定義為
2.2.9用運算元符號表示微分方程
（1）運算元符號的基本性質
如果把經常出現的微分和積分用下述運算元符號表示
式中，稱為微分運算元，稱為微分逆運算元或積分運算元。這樣，可以應用微分或積分運算元簡化表示微分和積分運算。
例如對於微分方程序(2-4)則可表示為
性質1 以的正冪多項式出現的表示式，在形式上可以像代數多項式那樣進行展開和因式分解。
性質2 設a(p)和b(p)是的正冪多項式，則
性質3 微分運算元方程等號兩邊的公因式不能隨便消去。
性質4 運算元的乘除順序不可以隨意顛倒。
（2）用運算元符號建立微分方程
對於lti連續系統，其輸入輸出方程是線性、常係數微分方程，用輸入-輸出法描述系統時，由式(2-62)可得出輸入激勵與輸出響應之間的關係是
其中令，代表了系統將輸入轉變為輸出的作用，或系統對輸入的傳輸作用，故稱為響應對激勵的傳輸運算元或系統的傳輸運算元。
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第8章MATLAB在非線性系統中的應用
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