極限概念是深入研究函式變化性態的乙個最基本概念，極限方法是數學中最重要的一種思想方法，是微積分學的基礎．極限的概念源於實際的問題，包括區域的面積、曲線切線的斜率、變速直線運動的速度、無窮級數的和等．本節主要介紹極限的概念、性質及計算方法．
2.1 數列的極限
2.1.1 利用割圓術求圓的面積
由於在很早以前，人們只知道直線長度和多邊形面積的計算方法，而要藉此得到圓面積的計算公式卻是非常困難的．三國時期我國著名的數學家劉徽創造了割圓術，成功地推算出圓周率和圓的面積．其基本思想如下：
對於乙個圓，先作圓內接正六邊形，其面積記為；再作圓內接正十二邊形，其面積記為；再作圓內接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數成倍增加，則得到一系列圓內接正多邊形的面積
，其中an表示圓內接正邊形的面積．
由此構成的一列有序的數叫做乙個數列．顯然，當n越大，對應的圓內接正多邊形的面積就越接近於圓的面積（如圖2.1.1所示），但無論n多大，an始終不是圓的面積，只是圓面積的近似值．因此設想，如果n無限增大時（記作，讀作n趨於無窮大），an無限接近某個確定的數a，則稱該確定的數a為數列當時的極限，該極限就是圓面積的精確值．
圖2.1.1
2.1.2 數列的概念
自變數為正整數的函式un = f (n) (n = 1,2,3,…)叫做整標函式．把它的函式值依次寫出來就構成一列數
，稱之為乙個數列，簡記為．數列中的每乙個數叫做數列的項，其中第一項叫做數列的首項，第n項un叫做數列的通項或一般項．
如表示以為通項的數列．
對於數列，若對任何正整數n，都有un ≤ un+1成立，則稱數列為單調遞增數列；若對任何正整數n，都有un ≥ un+1成立，則稱數列為單調遞減數列．單調遞增數列和單調遞減數列統稱為單調數列．如果存在正數m，使得對於任何正整數n，都有| un | ≤ m成立，則稱數列為有界數列，否則稱該數列為無界數列．
如數列為單調遞增的無界數列；數列為單調遞減的有界數列．
2.1.3 數列的極限
簡單說，數列的極限就是當項數n無限增大(記作n→∞)時，數列通項的終極變化趨勢．
若數列的極限不存在，則稱數列發散．
例2.1.1 觀察下列數列的極限．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解可以看出，當n→∞時，數列(1)的通項越來越接近於常數1；而數列(2)的通項越來越接近於常數0；數列(3)的通項趨於無窮大；數列(4)的通項在-1於1之間交替出現而不趨於任何確定的常數，所以得
（12）；
（3）（極限不存在）； （4）不存在．
習題2.1
觀察下列數列的變化趨勢，寫出它們的極限．
（12） ；
（34） ；
（56） .
2.2 數列極限的性質極限存在的準則
2.2.1 數列極限的性質
根據性質2可知，如果數列無界，那麼數列一定發散.但是，如果數列有界，卻不能斷定數列一定收斂.例如，數列
顯然此數列有界，但當時，通項un不能趨向於任何確定的常數. 因而數列有界只是數列收斂的必要條件，但不是充分條件.
例2.2.1 求極限
. 解所求極限變形，化為
例2.2.2 求極限
. 解所求極限為
如下做法是錯誤的
2.2.2 極限存在的準則
例2.2.3 求極限
解所求數列如下不等數成立
,由於，
，由迫斂性得
.例2.2.4 求極限
.解由於，所以
所求數列如下不等數成立
由於，由迫斂性得
.由性質2可知，收斂數列一定有界.但那時也曾指出，有界的數列不一定收斂.性質6表明，如果數列不僅有界，並且是單調的，那麼這數列的極限必定存在,也就是這數列一定收斂.
從數軸上看，對應於單調數列的點un只能在數軸的乙個方向移動，所以這種移動只有兩種可能，或者點un沿數軸移向無窮遠（或）；或者點un無限趨近於某乙個定點a，也就是數列趨於某乙個極限.那麼，假定數列是有界的，而有界數列的點un都落在數軸上某乙個區間內，那麼上述第一種情況就不可能發生了，這就表示這個數列趨於乙個極限，並且這個極限的絕對值不超過m.
例2.2.5 證明數列收斂，並求其極限.
證明記，易見數列是單調遞增的, 現用歸納法證明有上界.
顯然，假設，則有，從而對一切，，即數列有上界.利用單調有界定理, 此數列一定有極限.
設, 則有, 解得.
習題2.2
1.求下列數列的極限.
（12（34）；
（56）；
（7）； （8）.
2.利用數列極限存在準則證明。
（1）；（2）；
（3）數列， 的極限存在.
2.3 函式極限的概念
若在自變數的某個變化過程中，函式f (x)無限接近於乙個確定的常數a，則稱a為函式f(x)在該變化過程中的極限．下面根據自變數的不同變化趨勢，分別介紹函式的極限．
2.3.1 時函式的極限
例項1 考察函式當| x |無限增大時，其函式值的變化趨勢．
解如圖2.3.1所示，當| x |越來越大時，函式的影象越接近x軸，即它的函式值越來越接近0．我們稱0為函式圖2.3.1
當| x |無限增大時的極限．
一般地，有如下定義
在上述定義中，「x→∞」表示x既取正值而無限增大，也取負值而絕對值無限增大；但有時x只能或只需取這兩種變化中的一種情形，可得x→+∞或x→-∞時函式f(x)的極限定義．
上述定義從直觀上描述了函式當自變數x → ∞、x → +∞或x→-∞時的變化趨勢，通常借助於函式的影象去理解是比較容易的．因此在求函式的極限時，作出函式的影象是必要的．
根據以上三個定義，顯然有以下結論：
例2.3.1 討論下列極限是否存在．
（1）； （2）．
解由圖2.3.2可知
（1）因，由定理2.3.1知不存在．
（2）因，所以．
圖2.3.2
2.3.2 時函式的極限
設函式y = f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義，現在考察當自變數x無限接近於x0時函式值的變化趨勢．首先觀察下面幾個例題．
例項2 設函式f(x)=2x +1．當自變數x無限接近於1時，從圖2.3.4可以看到它所對應的函式值f(x)無限接近於常數3．
圖2.3.4圖2.3.5圖2.3.6
例項2.3.3 設函式．當時，．由此可見，當自變數而無限接近於2時，對應的函式值無限接近於常數4(如圖2.3.5)．
例項3 設函式．當且無限接近於0時，對應的函式值無限接近於常數1(如圖2.3.6)．
從上述幾個例子我們可以歸納出以下定義：
例2.3.2 由函式圖形易知，極限（為常數）；．
關於x→x0時函式f(x)的極限作以下幾點說明：
(1) 當x→x0時，函式的極限是否存在與函式在x = x0處是否有定義無關．如例項2.3.3中，函式在處無定義，但當x→2時，函式的極限是存在的．
(2) 自變數x→x0的方式是任意的，即同時從x0的左右兩側向x0靠近．
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