第8講閉區間上連續函式的整體性質與一致連續
講授內容
一 、連續函式的區域性性質
定理4.1(區域性有界性) 若函式在點連續，則在某內有界．
定理4.2(區域性保號性) 若函式在點連續，且 (或)，則對任何正數(或)，存在某，使得對一切有，）.
注：應用區域性保號性時，常取則（當時）存在某使在其內有.
二、閉區間上連續函式的基本性質
定義1 設為定義在數集上的函式．若存在，使得對一切有
，則稱在上有最大(最小)值，並稱為在上的最大(最小)值．
定理4.6 (最大、最小值定理) 若函式在閉區間上連續，則在上有最大值與最小值．
推論 (有界性定理) 若函式在閉區間上連續，則在上有界．
定理4.7 (介值性定理) 設函式在閉區間上連續，且．若為介於與之間的任何實數或)，則至少存在一點，使得
推論(根的存在定理) 若函式在閉區間上連續，且與異號(即)，則至少存在一點，使得，即方程在內至少有乙個根．
這個推論的幾何解釋如圖4—3所示：若點與分別在軸的兩側，則連線、的連續曲線與軸至少有乙個交點．
應用介值性定理，我們還容易推得連續函式的下述性質：若在區間上連續且不是常量函式，則值域也是乙個區間；特別，若為閉區間，在上的最大值為，最小值為，則；
例3 證明：若，為正整數，則存在唯一正數，使得稱為的次正根(即算術根)，記作)．
證：先證存在性．由於當時有，故必存在正數，使得．因在上連續，並有，故由介值性定理，至少存在一點，使得．
再證唯一性．設正數使得，則有，由於第二個括號內的數為正，所以只能，即.
例4 設在上連續，滿足．證明：存在，使得.
證：由條件意味著：對任何有，特別有
以及 ．
若或，則取或，從而式成立．現設與．令，則，．故由根的存在性定理，存在，使得，即
從本例的證明過程可見，在應用介值性定理或根的存在性定理證明某些問題時，選取合適的輔助函式(如在本例中令)，可收到事半功倍的效果．
三、反函式的連續性
定理4.8 若函式在上嚴格單調並連續，則反函式在其定義域或上連續．
例5 由於在區間上嚴格單調且連續，故其反函式在區間上連續．
同理可得其它反三角函式也在相應的定義區間上連續．如在上連續，在上連續等．
例6 由於(為正整數)在上嚴格單調且連續，故在上連續．又若把(為正整數)看作由與復合而成的函式，則在上連續．
綜上可知，若為非零整數，則是其定義區間上的連續函式．
例7 證明：有理冪函式在其定義區間上連續．
證：設有理數，這裡為整數.因為與均在其定義區間上連續，所以復合函式也是其定義區間上的連續函式。
四、一致連續性
函式在區間上連續，是指在該區間上每一點都連續．本段中討論的一致連續性概念反映了函式在區間上更強的連續性．
定義2 設為定義在區間上的函式．若對任給的，存在，使得對任何，只要：，就有，則稱函式在區間上一致連續．
例8 證明在上一致連續．
證： 任給，由於，故可選取，則對任何只要，就有．所以在上一致連續．
例9 證明函式在內不一致連續(儘管它在內每一點都連續)．
證：按一致連續性的定義，為證函式在某區間上不一致連續，只須證明：存在某，對任何正數(不論多麼小)，總存在兩點，儘管，但有.
對於函式，可取，對無論多麼小的正數，只要取與（圖4-5），則雖有，但，所以在內不一致連續．
定理4.9 (一致連續性定理) 若函式在閉區間上連續，則在]上一致連續．
例10 設區間的右端點為，區間的左端點也為可分別為有限或無限區間)．試按一致連續性的定義證明：若分別在和上一致連續，則在上也一致連續．
證：任給，由在和上的一致連續性，分別存在正數和，使得對任何，只要，就有1）
又對任何，只要，也有（1）式成立．
點作為的右端點，在點為左連續，作為的左端點，在點為右連續，所以在點連續．故對上述，存在，當時有2）
令，對任何，，分別討論以下兩種情形：
(i)同時屬於或，則（1）式成立；
（ii）分屬與，設則，
故由（2）式得.同理得，即證明了在上一致連續．
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