習題2-1
1. 觀察下列數列的變化趨勢，寫出其極限：
(12)；
(34).
解：(1) 此數列為所以。
(2) 所以原數列極限不存在。
(3)所以。(4) 所以
2.下列說法是否正確：
(1)收斂數列一定有界
(2)有界數列一定收斂；
(3)無界數列一定發散；
(4)極限大於0的數列的通項也一定大於0.
解：(1) 正確。
(2) 錯誤例如數列有界，但它不收斂。
(3) 正確。
(4) 錯誤例如數列極限為1，極限大於零，但是小於零。
*3.用數列極限的精確定義證明下列極限：
(1(2)；
(3)證：(1) 對於任給的正數ε，要使，只要即可，所以可取正整數.
因此，，，當時，總有，所以
.(2) 對於任給的正數ε，當時，
要使，只要即可，所以可取正整數.
因此，，，當時，總有，所以
.(3) 對於任給的正數ε，要使，只要即可，所以可取正整數.
因此，，，當時，總有，所以
.習題2-2
1. 利用函式影象，觀察變化趨勢，寫出下列極限：
(12)；
(34);
(56)；
(78)
解：(12)；
(34);
(56)；
(78)
2. 函式在點x0處有定義，是當時有極限的( d )
(a) 必要條件b) 充分條件
(c) 充要條件d) 無關條件
解：由函式極限的定義可知，研究當的極限時，我們關心的是x無限趨近x0時的變化趨勢，而不關心在處有無定義，大小如何。
3.與都存在是函式在點x0處有極限的( a )
(a) 必要條件b) 充分條件
(c) 充要條件d) 無關條件
解：若函式在點x0處有極限則與一定都存在。
4． 設作出的影象；求與；判別是否存在?
解：，，故不存在。
5．設, ,當時，分別求與的左、右極限，問與是否存在?
解：由題意可知，則，，因此。
由題意可知，，，因此不存在。
*6.用極限的精確定義證明下列極限：
(1(2)；
(3).
證：(1)，要使，只要即可.
所以，,當時，都有，故.
(2) 對於任給的正數ε，要使,只要. 所以，, 當時，都有不等式成立.故.
(3) 對於任給的正數ε，要使,只要.所以，, 當時，都有不等式成立.故.
習題2-3
1．下列函式在什麼情況下為無窮小?在什麼情況下為無窮大?
(1); (2); (3)．
解：(1) 因為，故時為無窮小，
因為，故時為無窮大。
(2) 因為，故時為無窮小，
因為，，故和時都為無窮大。
(3) 因為，，故和時為無窮小，
因為，故時為無窮大。
2．求下列函式的極限：
(1); (2); (3).
解：(1) 因為，，且，故得.
(2) 因為，，且，故得.
(3) 因為，且，故得.
習題2-4
1. 下列運算正確嗎?為什麼?
(1);
(2).
解：(1) 不正確，因為不存在，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：因為，且，故得.
(2) 不正確，因為，不能做分母，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：因為，由無窮小與無窮大的關係可知.
2. 求下列極限：
(12）；
（3）; (4);
(56）;
(78);
(9).
解：(1)；
（2）；
（3）;
(4);
(5（6）; 因為，且，所以
(7(8);
(9).
3.已知, 求
解：因為，，所以，
，。習題2-5
1.求下列函式的極限：
(1); (2);
(34）;
(56).
解：(1);
(2);
(3（4）;
(5(6).
2. 求下列函式的極限:
(12);
(34).
解：(1);
(2) ;(3
(4).
習題2-6
1. 當時，與相比，哪個是高階無窮小量？
解：因為，所以比**。
2. 當時，無窮小量與（1）；（2）是否同階？是否等價？
解：因為，所以與是同階無窮小，
因為，故無窮小量與是等價無窮小。
3. 利用等價無窮小，求下列極限:
(12)；
（34）；
（5）； （6）.
解：(1
(2)；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
習題2-7
1.研究下列函式的連續性，並畫出圖形：
（1）（2）（3）.
解：（1）在區間和是初等函式，因此在區間和是連續函式，
因為，所以在點右連續，
因為，，且，所以在點連續，
綜上所述，在區間是連續函式。
（2）在區間，和是初等函式，因此在上是連續函式，
因為，，且，所以在點連續，
因為，，所以在點間斷，
綜上所述，在區間是連續函式，在點間斷。
（3）由題意知，，當時，，
當時，，因此，
在區間，和是初等函式，因此在上是連續函式，
因為，，所以在點間斷，
因為，，所以在點間斷，
綜上所述，在上連續，在點間斷。
2. 求下列函式的間斷點，並判斷其型別.如果是可去間斷點，則補充或改變函式的定義，使其在該點連續：
(12);
(34）；
(56)
解：(1)在無定義，因此為函式的間斷點，
又因為，所以為函式的可去間斷點，補充定義，原函式就成為連續函式
(2)在無定義，因此為函式的間斷點，
由，可得，由，可得，所以為函式的跳躍間斷點。
(3)在無定義，因此為函式的間斷點，
由，可得，由，可得，所以為函式的無窮間斷點。
（4）在無定義，因此為函式的間斷點，
因為，所以為函式的可去間斷點，補充定義，原函式就成為連續函式，
因為，所以為函式的無窮間斷點。
(5)在，無定義，因此和都為函式的間斷點，
因為，所以為函式的可去間斷點，補充定義，原函式就成為連續函式，
因為，所以為函式的無窮間斷點。
(6) 因為，，所以為函式的跳躍間斷點。
3. 在下列函式中，當a取什麼值時函式在其定義域內連續?
(12)
解：(1)在是連續函式，因此只要在時連續，就在其定義域內連續。因為，，所以只要，就在其定義域內連續。
(2)在區間是連續函式，因此只要在時連續，就在其定義域內連續。因為， ，所以只要，就在其定義域內連續。
4. 求下列函式的極限：
(1); (2);
(3); (4);
(56).
解：(1);
(2);
(3);
(4);
(5(6).
5. 證明方程在內必有實根.
證明：設. 因為函式在閉區間上連續，又有
, 故.
根據零點存在定理知，至少存在一點，使,
即 ．
因此，方程在內至少有乙個實根ξ.
6. 證明方程至少有乙個正根，並且它不大於.
證明：設. 因為函式在閉區間上連續，又有
, 故.
根據零點存在定理知，至少存在一點，使,
即 ．
因此，方程在內至少有乙個實根，即方程至少有乙個正根，並且它不大於。
複習題2
（a）1. 單項選擇題：
(1) 設,則b )
(a)有界b)無界
(c)單調增加d) 時，為無窮大
解：，，因此無界，但是的極限不存在，也不是單調數列，故只有b選項正確。
(2) 若在點x0處的極限存在，則c )
(a)必存在且等於極限值b)存在但不一定等於極限值
(c)在處的函式值可以不存在 (d) 如果存在，則必等於極限值
解：由函式極限的定義可知，研究當的極限時，我們關心的是x無限趨近x0時的變化趨勢，而不關心在處有無定義，大小如何。
2. 指出下列運算中的錯誤，並給出正確解法：
(1);
(2);
(3);
(4).
解：(1) 因為，不能做分母，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：因為.
(2) 因為，不能做分母，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：因為，由無窮小與無窮大之間的關係可知.
(3) 因為和都不存在，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：.
(4) 因為，不能做分母，所以此時極限的四則運算法則失效。
正確做法是：.
3. 求下列極限：
(1)； (2);
(3); (4); (5);
（6）; (7)；（8）; (9
(10); (1112
解：(1)；
(2);
(3);
(4);
(5);
（6）;
(7)；
（8）;
(9(10);
(11(12
4. 求下列函式的間斷點，並判斷其型別.如果是可去間斷點，則補充或改變函式的定義，使其在該點連續：
（1）;
(2).
解：（1）因為，，所以是函式的跳躍間斷點。
(2) 因為在，無定義，因此，為函式的間斷點，
因為，，所以是函式的跳躍間斷點；
因為，所以是函式的可去間斷點，補充定義，則在連續；
因為，所以是函式的無窮間斷點。
5．設f(x)＝
(1) 當a為何值時，是的連續點?
(2) 當a為何值時，是的間斷點?是什麼型別的間斷點?
解：(1) 因為，，
，所以當時，是的連續點。
(2) 當時，是的跳躍間斷點。
6. 試證方程至少有乙個小於1的正根.
解：設. 因為函式在閉區間上連續，又有
, 故.
根據零點存在定理知，至少存在一點，使,
即 ．
因此，方程在內至少有乙個實根ξ.
（b）1. 討論極限是否存在？
解：由，可得，故
由，可得，故
所以為函式的跳躍間斷點。
2. 求下列極限.
(1)；
(2);
(3);
(4).
解：(1) 令，則；
(2);(3);
(4) 因為，
所以.3．問a,b為何值時，.
解：因為且。所以，由此式可解得，
所以，由此式可解得.
4．問a為何值時，函式連續.
解：因為在是初等函式，因此只要在連續，就是連續函式。
由，，，由可解得時，所以當時是連續函式。
5．函式在下列區間有界的是 ( a ).
ab.； cd..
解：用排除法，因為，所以在，，都無界。
6. 函式的可去間斷點的個數為( c ).
高等數學習題詳解第7章多元函式微分學
習題7 1 1.指出下列各點所在的座標軸 座標面或卦限 a 2，1,6 b 0，2，0 c 3，0,5 d 1，1，7 解 a在v卦限，b在y軸上，c在xoz平面上，d在viii卦限。2.已知點m 1，2，3 求點m關於座標原點 各座標軸及各座標面的對稱點的座標.解 設所求對稱點的座標為 x，y，z...
高等數學第7 8練習題
1.已知向量，如圖 1 求徵 的面積 2 當夾角為何值時,的面積為最大?2.設，試求的值，使得 1 與軸垂直 2 與垂直，並證明此時取得最小值。3.求兩直線的公垂線方程。4.設又 5.已知函式滿足方程 試選擇，通過變換把原方程變形，消去新方程中一階偏導數項。6.20分 設有一小山，取它的底面所在的平...
高等數學求極限的常用方法附例題和詳解
一 極限的定義 1.極限的保號性很重要 設，i 若a，則有，使得當時，ii 若有使得當時，2.極限分為函式極限 數列極限，其中函式極限又分為時函式的極限和的極限。要特別注意判定極限是否存在在 i 數列是它的所有子數列均收斂於a。常用的是其推論，即 乙個數列收斂於a的充要條件是其奇子列和偶子列都收斂於...