1．定義：
說明：（1）一些最簡單的數列或函式的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；
（2）在後面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。
利用導數的定義求極限
這種方法要求熟練的掌握導數的定義。
2．極限運算法則
定理1 已知，都存在，極限值分別為a，b，則下面極限都存在，且有 （1）
（2）（3）
說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。
.利用極限的四則運算法求極限
這種方法主要應用於求一些簡單函式的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據具體情況先對函式做某些恒等變形或化簡。
8.用初等方法變形後，再利用極限運算法則求極限
例1解：原式= 。
注：本題也可以用洛比達法則。
例2解：原式= 。
例3 解：原式。
3．兩個重要極限
（1（2） ；
說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，
例如：，，；等等。
利用兩個重要極限求極限
例5 解：原式= 。
注：本題也可以用洛比達法則。
例6 解：原式= 。
例7 解：原式= 。
4．等價無窮小
定理2 無窮小與有界函式的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。
定理3 當時，下列函式都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：
～～～～～～。
說明：當上面每個函式中的自變數x換成時（），仍有上面的等價
關係成立，例如：當時
定理4 如果函式都是時的無窮小，且～，～，則當存在時，也存在且等於，即=。
利用等價無窮小代換（定理4）求極限
例9解：～，～，
原式= 。
例10解：原式= 。
注：下面的解法是錯誤的：
原式= 。
正如下面例題解法錯誤一樣：
。例11解：， 所以， 原式= 。（最後一步用到定理2）
五、利用無窮小的性質求極限
有限個無窮小的和是無窮小，有界函式與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。
例 1. 2.
5．洛比達法則
定理5 假設當自變數x趨近於某一定值（或無窮大）時，函式和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大；
（2）和都可導，且的導數不為0；
（3）存在（或是無窮大）；
則極限也一定存在，且等於，即= 。
說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為「」型或「」型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢後可以知道是否滿足。
另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。
利用洛比達法則求極限
說明：當所求極限中的函式比較複雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。
例12（例4）
解：原式= 。（最後一步用到了重要極限）
例13解：原式= 。
例14解：原式== 。（連續用洛比達法則，最後用重要極限）
例15解：例18
解：錯誤解法：原式= 。
正確解法：
應該注意，洛比達法則並不是總可以用，如下例。
例19解：易見：該極限是「」型，但用洛比達法則後得到：，此極限
不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：
原式= （分子、分母同時除以x）
= （利用定理1和定理2）
6．連續性
定理6 一切連續函式在其定義去間內的點處都連續，即如果是函式的定義去間內的一點，則有。
利用函式的連續性（定理6）求極限
例4 解：因為是函式的乙個連續點，
所以原式= 。
7．極限存在準則
定理7（準則1） 單調有界數列必有極限。
四、利用單調有界準則求極限
首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程可求出極限。
例1. 設，
求極限。
定理8（準則2） 已知為三個數列，且滿足：
（1）（2），
則極限一定存在，且極限值也是a ，即。
10.夾逼定理
利用極限存在準則求極限
例20 已知，求
解：易證：數列單調遞增，且有界（0<<2），由準則1極限存在，設。對已知的遞推公式兩邊求極限，得：
，解得：或（不合題意，捨去）
所以。例21
解： 易見：
因為，所以由準則2得： 。
9.洛必達法則與等價無窮小替換結合法
對於一些函式求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結合御用，往往能化簡運算，收到奇效。
11.泰勒展開法
12.利用定積分的定義求極限法
積分本質上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉化為求定積分的問題。
8.利用復合函式求極限
十、利用級數收斂的必要條件求極限
級數收斂的必要條件是：若級數收斂，則，故對某些極限，可將函式作為級數的一般項，只須證明此技術收斂，便有。
例 十
一、利用冪級數的和函式求極限
當數列本身就是某個級數的部分和數列時，求該數列的極限就成了求相應級數的和，此時常可以輔助性的構造乙個函式項級數（通常為冪級數，有時為fourier級數）。使得要求的極限恰好是該函式項級數的和函式在某點的值。
例求7等比等差數列公式應用（對付數列極限） （q絕對值符號要小於1）
8各項的拆分相加 （來消掉中間的大多數） （對付的還是數列極限）
可以使用待定係數法來拆分化簡函式
9求左右求極限的方式（對付數列極限） 例如知道xn與xn+1的關係， 已知xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ，應為極限去掉有限專案極限值不變化
11 還有個方法，非常方便的方法
就是當趨近於無窮大時候
不同函式趨近於無窮的速度是不一樣的
x的x次方快於x！ 快於指數函式快於冪數函式快於對數函式 （畫圖也能看出速率的快慢）!!!!!!
當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了
12 換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元， 但是換元會夾雜其中
16直接使用求導數的定義來求極限 ，
（一般都是x趨近於0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式， 看見了有特別注意）
求極限的方法總結
求極限的幾種常用方法 一 約去零因子求極限 例如求極限，本例中當時，表明與1無限接近，但,所以這一因子可以約去。二 分子分母同除求極限 求極限型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。三 分子 母 有理化求極限 例 求極限 分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。例 求極限 ...
求極限方法總結
一，求極限的方法橫向總結 1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限 1 根式相加減或只有分子帶根式 用平方差公式，湊平方 有分式又同時出現未知數的不同次冪 將未知數全部化到分子或分母的位置上 2 分子分母都帶根式 將分母分子同時乘以不同的對應分式湊成完全平方式 常用到 2分子分母都是有界變數與無窮大量加...
求極限的方法
利用函式極限的四則運算法則來求極限 若極限和都存在，則函式，當時也存在且 又若，則在時也存在，且有 利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如 等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子 分母中的零因子，在變形時，要熟練掌...