函式極限的求解是高等數學的基本運算，也是學生必備的基本技能，並且函式極限和以後許多章節的知識相聯絡，例如：導數的計算、定積分、曲線積分、冪級數等，它是我們學好後序章節知識的基礎。因此，掌握其求解方法對以後的學習至關重要。
函式的極限求解方法靈活多變，不易掌握，是高等數學的乙個難點。本文就一元函式極限和二元函式極限的求法進行**，希望對學習高等數學的同學能有所幫助。
定義1：函式在點的空心鄰域內有定義，是乙個確定的數，若對任意的正數，存在，使得當時，都有則稱趨向於的極限存在，且為，記作.
下面舉例說明如何根據定義來求這種函式極限，我們要特別注意的值是如何確定的，它和有什麼關係。
例1 證明
證＞0，＜成立，解得 ＜。
取於是存在0 ＜＜,有＜。
故。 注：一般的取值要依賴於，但它不是由唯一確定的。在上
例中還可以把取的更小一些。這取決於函式式放縮的程度。
定義2：設為定義在上的函式，為定值，若對任給
正數，存在正數(≥a ), 使得當＞時有＜。則稱函式當時以為極限，記作或。
趨向於時的函式極限的定義與定義2相似，只要把定義中的＞改為即可。
下面同樣舉例說明用定義求這種函式極限的方法。
例2 證明=
解析這是乙個關於自變數n趨向於無窮大的函式極限，n相當於定義中的，先將函式式適當放大，再根據函式定義求證函式極限。
證，當，有，，
當時，有故=。
利用定義法求函式極限時要注意：
（1）在上面的①式中運用了適當放大的方法，這樣求解比較簡便。但要注意這種放大必須要「適度」，這樣才能根據給定的來確定n，同時要注意此題中的n不一定非要是整數，只要是正數即可。
（2）函式在所求點的極限與函式在此點是否連續無關，函式極限表示的是自變數趨向某點時函式值的變化規律。
用定義法求函式極限較麻煩，一般不用。洛比達法則是比較常用的求函式極限的方法。
我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比形式的極限統稱為未定式極限，記作型或型，其它能化成這兩種極限形式的函式極限也稱為未定式極限。對求解未定式極限來講，洛比達法則是一種便捷而有效的方法。使用時要注意和其它方法結合，使求解過程簡潔化。
洛比達法則有以下幾種形式：
對於這兩種型別的未定式極限，直接用洛比達法則。下面是針對這兩種極限形式的洛比達法則。
（1）型未定式函式極限
若①當時，。 ②的值存在，
且為(可以是無窮大)。 ③在點的某空心鄰域內、都可導，且≠0 。那麼
（2）型未定式函式極限
若①當時，。 ②的值存在
且為(可以是無窮大)。 ③在點的某空心鄰域內、都可導，且≠0。 那麼
例3 求極限
解析當時，分子趨向於0，分母趨向於0，這是乙個型極限，可直接用洛比達法則。
解由洛比達法則， =
注：若使用了洛比達法則後，分子分母導數之比依然符合洛比達法則，則可繼續使用洛比達法則，直到求出函式極限值為止。例如：
。（1）對於型的函式極限，要先把這種型別的極限化成型或型極限。若為，那麼可將化成（） 或者（），然後用洛比達法則求解。
例4 求極限
解用恒等變形，， 這是乙個型的極限，再用洛比達法則求解。=.
（2） 對於、、型的未定式極限，要先對底函式取對數，
將其化為型或型，再用洛比達法則求解。
例5 求極限（）.
解析 ，對x取對數，使函式變為的形式。然後利用上題的方法求解。
解 =，其中
=故=e=1。
在運用洛比達法則時，應該注意以下問題：
①洛比達法則中的求導是分別對分子和分母求導，而不是對整個式子的求導。
②倘若最後所得的極限不存在，並不代表函式無極限，可以換
用其它方法求函式極限。
③在運用時要注意洛比達法則所要求的條件。
洛比達法則成功的解決了未定式極限的問題，但有時函式比較複雜，若使用洛比達法則較麻煩，這時可以將函式用其它形式的函式等價代換，化繁為簡，這就是用代換法求極限。
馬克勞林公式：
例6解首先將下列初等函式化成馬克勞林公式
， = ，，
代入得 = 。
注：在應用馬克勞林公式時，要用相同冪次數的來代換，這樣函式才能化繁為簡。
當時，有下列常用的一組等價無窮小
例7解這個函式極限用洛比達法則求較複雜，直接用等價無窮小替換，代入得 = 。
注：只有當因式相乘或相除時才能用等價無窮小代換，若相加或相減時不能隨意代換，否則，可能得出錯誤的結論。
對於連續函式，在應用某些法則時，往往需要先對函式做一些變形，採用怎樣的變形，要根據具體的函式確定，常用的變形方法有分子分母有理化法、新增中介元素法及通分法。
對於帶根式的函式，我們通常將帶根式的那一部分進行有理化，消去根號，再求解。
例8 求
解 ，將分母有理化。=
===3。
有時在函式式中新增一些中介元素，將函式式進行合理變形，再利用一些常見的函式極限，例如：，等。可以使求解函式極限變得易如反掌。
例9 求極限
分析利用，新增中介元素。
解 =。
求解型極限通常將分母進行通分，以消去分母中的零因子，從而解出函式極限。
例10 求極限
解析時，。這是型極限。將分母通分，劃去分母中的零因子。
解原式== =
==注：要根據函式極限的特徵，運用合適的變形技巧。
夾逼準則：若有且則。
注：在運用夾逼準則時，要對函式式進行合理放縮。
例11 求極限
解 0，又，
故由夾逼準則知 =0。
「他山之石可以攻玉」，在求函式極限時，我們還可應用其它章節的知識，將函式極限賦予新的意義，找到新的解題途徑。
定義：，其中表示被積函式，是積分變數，是積分下限，是積分上限。是積分區間。
如果我們把區間分成個小區間。表示被分割後的某個小區間的長度，。是在上任取的一點，表示其函式值。
當分割細度t無限小時，與區間長度乘積的總和趨向於在上的積分。若能將和式函式化為積分形式，則就能利用定積分來求極限，關鍵是要仔細觀察函式特點，確定積分函式和積分區間。
例12 求極限
解析這是乙個和式極限，由它的形式，我們可聯想到定積分的相關知識。。利用。
解原式==2.
若乙個數列是正項數列或負項數列，並且它是收斂的。那麼它具有如下性質：若，則時，。我們可利用收斂數列的這個性質解決一些函式極限的問題。
例13 求
解令， 則，那麼收斂，從而=0。
對於冪級數形式的函式極限，一般用逐項求導和逐項求和的方法。
例14 求
解令則，考慮級數。，故此級數收斂，且收斂域為，令，並設， 那麼，則， ，
將帶入中，得=.
乙個函式表示式的極限，在引數的取值未定時，需分情況討論。因為有時引數取值發生變化，函式值也可能會變化。
例 15 求
解， .
對於連續函式，我們有上述方法來解決，但有時我們會遇到不連續的函式，需要求出它們在間斷點處的極限。根據分段函式極限的定義，我們可以先求出函式在此間斷點處的左右極限，若左右極限相等，則所求函式極限存在，否則，極限不存在。
例16 求在時的極限。
解 ，，
， 故。
例17 討論在點處的極限。
解===3 故不存在
二元函式是一元函式的延伸，因此它保留著一元函式的許多性質，求一元函式極限的許多方法也適用於二元函式極限。下面來看二元函式極限的解法。==
限定，則
從而，。
故設為任意正數，取，則當時，就有。
和一元函式一樣，在使用函式定義求極限的時候，也伴隨有放縮，這時要注意是對兩個自變數的同時限制。
和一元函式的代換法相似，但又有所不同，二元函式的換元法通常和幾何聯絡在一起。常用的是極座標變換。
例2 求極限在處的極限。
分析分母中含有，故可用極座標變換。
解令，則，
因為所以，只需，當時，不管取什麼值都有故
在一元函式中，我們學過海涅定理，對於二元函式也有相似定理：若在的定義域內存在兩條不同的連續曲線，且當時，。但函式式沿著這兩條曲線逼近時的極限卻不同，或者乙個存在，另乙個不存在，則二元函式在此點不存在極限。
例3 求
解設，其中，
因為，故，所以該函式極限不存在。
若乙個函式在某點連續，則可以直接將此點的座標代入，即。
例4 求極限
解因函式在點的鄰域內連續，故可直接代入求極限=
兩邊夾準則：有，，則。
二元函式兩邊夾準則和一元函式的夾逼準則相似。但要注意求二元函式極限時是對兩個變數同時放縮。
例5 求極限
解又，故 =0
例6 求在點的極限。
解下面分兩種情況討論。
，則有。，
， 只需令則有，從情來看，在原點的極限為0。
求函式極限的方法和技巧
1 運用極限的定義 例 用極限定義證明 證 由 取則當時,就有 由函式極限定義有 2 利用極限的四則運算性質 若 i ii iii 若 b 0 則 iv c為常數 上述性質對於 例 求解 3 約去零因式 此法適用於 例 求 解 原式 4 通分法 適用於型 例 求 解 原式 5 利用無窮小量性質法 特...
求函式極限的方法和技巧
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求極限的方法
利用函式極限的四則運算法則來求極限 若極限和都存在，則函式，當時也存在且 又若，則在時也存在，且有 利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如 等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子 分母中的零因子，在變形時，要熟練掌...