1、運用極限的定義
例: 用極限定義證明:
證: 由
取則當時,就有
由函式極限定義有:
2、利用極限的四則運算性質
若(i)(ii)
(iii)若 b≠0 則：
（iv） （c為常數）
上述性質對於
例：求解: =
3、約去零因式（此法適用於）
例: 求
解:原式====
4、通分法（適用於型）
例: 求
解: 原式=
=5、利用無窮小量性質法（特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質）
設函式f(x)、g(x) 滿足：
（i）(iim為正整數)
則： 例: 求
解: 由而
故原式 =
6、利用無窮小量與無窮大量的關係。
（i）若： 則
(ii) 若: 且 f(x)≠0 則
例: 求下列極限
解: 由故
由故 =
7、等價無窮小代換法
設都是同一極限過程中的無窮小量，且有：
存在，則也存在，且有=
例:求極限
解:=注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現時可以互換，若以和、差出現時，不要輕易代換，因為此時經過代換後，往往改變了它的無窮小量之比的「階數」
8、利用兩個重要的極限。
例：求下列函式的極限
但我們經常使用的是它們的變形：
例：求下列函式極限
9、利用函式的連續性（適用於求函式在連續點處的極限）。
例：求下列函式的極限
2）10、變數替換法（適用於分子、分母的根指數不相同的極限型別）特別地有：
m、n、k、l 為正整數。
例：求下列函式極限
①、n 解: ①令 t= 則當時 ,於是
原式=②由於=
令： 則
==11、 利用函式極限的存在性定理
定理: 設在的某空心鄰域內恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
則極限存在, 且有
例: 求 (a>1,n>0)
解: 當 x≥1 時,存在唯一的正整數k,使
k ≤x≤k+1
於是當 n>0 時有:
及又當x時,k 有
及=012、用左右極限與極限關係(適用於分段函式求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。
定理：函式極限存在且等於a的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等於a。即有：
==a例：設= 求及
由13、羅比塔法則（適用於未定式極限）
定理：若
此定理是對型而言，對於函式極限的其它型別，均有類似的法則。
注：運用羅比塔法則求極限應注意以下幾點：
1、 要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導。
2、 應用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導數，而不是求整個分式的導數。
3、 要及時化簡極限符號後面的分式，在化簡以後檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。
4、當不存在時，本法則失效，但並不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。
例： 求下列函式的極限
解：①令f(x)=, g(x)= l
, 由於
但從而運用羅比塔法則兩次後得到
② 由故此例屬於型，由羅比塔法則有：
14、利用泰勒公式
對於求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開式：
1、2、
3、4、
5、6、
上述展開式中的符號都有:
例:求解:利用泰勒公式，當有於是=
==15、利用拉格朗日中值定理
定理:若函式f滿足如下條件：
(i) f 在閉區間上連續
(ii)f 在(a ,b)內可導
則在(a ,b)內至少存在一點,使得
此式變形可為:
例: 求
解:令對它應用中值定理得
即: 連續
從而有:
16、求代數函式的極限方法
(1)有理式的情況，即若:
(i)當時，有
(ii)當時有:
①若則②若而則
③若, ,則分別考慮若為的s重根,即: 也為的r重根,即:
可得結論如下：
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
= ②
必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:
(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同於有理式，但求極限方法完全類同，這裡就不再一一詳述.在這裡我主要舉例說明有理化的方法求極限。
例：求解: 二、多種方法的綜合運用
上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目並非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧，使得計算大為簡化。
例:求[解法一
= 注:此法採用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。
[解法二
=注：此解法利用「三角和差化積法」配合使用兩個重要極限法。
[解法三]:
注:此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及羅比塔法則
[解法四]:
注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。
[解法五]:
注:此解法利用「三角和差化積法」配合使用無窮小代換法。
[解法六]：
令注：此解法利用變數代換法配合使用羅比塔法則。
[解法七]:
注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個重要極限。
求函式極限的方法和技巧
1 運用極限的定義 例 用極限定義證明 證 由 取則當時,就有 由函式極限定義有 2 利用極限的四則運算性質 若 i ii iii 若 b 0 則 iv c為常數 上述性質對於 例 求解 3 約去零因式 此法適用於 例 求 解 原式 4 通分法 適用於型 例 求 解 原式 5 利用無窮小量性質法 特...
求函式極限的方法
函式極限的求解是高等數學的基本運算，也是學生必備的基本技能，並且函式極限和以後許多章節的知識相聯絡，例如 導數的計算 定積分 曲線積分 冪級數等，它是我們學好後序章節知識的基礎。因此，掌握其求解方法對以後的學習至關重要。函式的極限求解方法靈活多變，不易掌握，是高等數學的乙個難點。本文就一元函式極限和...
求極限的方法技巧
一 求函式極限的方法 1 運用極限的定義 例 用極限定義證明 證 由 取則當時,就有 由函式極限定義有 2 利用極限的四則運算性質 若 i ii iii 若 b 0 則 iv c為常數 上述性質對於 例 求解 3 約去零因式 此法適用於 例 求 解 原式 4 通分法 適用於型 例 求 解 原式 5 ...