一，根據迫斂性求極限
1，求數列極限
定理2.6：設收斂數列{}，{}都以a為極限，數列{}滿足：存在正數,當n>,時有≤≤，則數列{}收斂，且。
例 （）
≤≤≡1
= =1
所以（）=1
2，求函式極限
定理3.6：設且在某內有則
例求當x.>0時，1-x＜≤1而（1-x）=1故由迫斂性可知， =1
另一方面，當x<0時，有1＜≤1-x，故由迫斂性又可得， =1
綜上求得=1
二，利用四則運算求極限
定理3.7：若極限f(x)與g(x)都存在，則函式f+g,f-g,當x的極限也存在，且
1) [f(x)±g(x)]＝f(x)±g(x)
2) [f(x)g(x)] ＝f(x). g(x)
3) ＝f(x)／g(x)
例2 (xtanx-1)
解由xtanx=x
sinx== cosx
按四則運算法則有
(xtanx-1)= x. －1=
三，兩個重要極限 =e
例2 求
= 例3 求
= ==
四，運用洛比達法則求極限
1，型不定式極限
定理6.6若函式f和g滿足
1）f(x)= g(x)=0
2)在點x0的某空心領域內兩者可導且≠0
3）=a則==a
例2 求
解容易檢驗f(x)=1+cosx與g(x)=在點x0=π的領域內滿足的條件1）和2）
故洛比達法則得
=2，型不定極限
定理6.7若函式f和g滿足
1）f(x)= g(x)=∞
2)在x0的某右領域為兩者可導，且≠0
3）=a
則==a
例2解;由定理6.7有
=3，其他型別不定式極限
例7 求
解：這是乙個0.∞型不定式極限，用恒等變形xlnx=將它轉化為型的不定式極限，並應用洛比達則
== (-x)=0
例8 求
解;這是乙個型不定式極限，做恒等變換
其指數部分的極限是型不定式極限，可先求的=-1/2
從而得到=
例10 求
這是乙個型不定式極限，類似先求對數極限
==1於是有
=e五，利用泰勒公式求極限
例3 求極限
首先考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限分子（取n=4）
cosx=1-+
=1-+
cosx-=-
因而求得
例4 == -
六，利用定義求極限
例5 根據定義的語言，數列收斂,有。
例1、用語言證明
證明：要使不等式成立，解得，取，於是，有。即
七，利用初等函式的連續性求極限
例 3 、 求
解：原式===
八，利用無窮小量的性質求極限
關於無窮小量的性質有三個，但應用最多的是性質：若是無窮小，函式在的某去心鄰域有界，則函式是無窮小
例8、求
解: 而，而
故所以九，利用等價無窮小代換求極限
一些常見的等價無窮小：當 x → 0 時， ，， ，，
，，等等。
例 9、求
解： ，由於當時，～,～，～,上式用等價無窮小代換得
十，利用中值定理求極限
例 12、
解：對在區間上用拉格朗日中值定理，得
，。因為，
所以十，利用一些常用結論求極限
例如，等等
極限不存在的證明
一、左右極限法
原理：判斷當時的極限，只要考察左、右極限，如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存在。
例如：證明當時的極限不存在。
因為x=0，，，所以當
時，的極限不存在。
求極限的16種方法
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求極限的方法
利用函式極限的四則運算法則來求極限 若極限和都存在，則函式，當時也存在且 又若，則在時也存在，且有 利用極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如 等情況，都不能直接用四則運算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子 分母中的零因子，在變形時，要熟練掌...
高數中求極限的16種方法
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