習題課（一）
內容：極限的計算
基本要求：1．理解極限定義，了解極限性質。
2．理解無窮小、無窮大定義，掌握其性質。
3．熟練掌握各類極限的計算方法。
內容與方法精講：
一． 極限的基本概念
1． 極限定義
（無論多小），總存在乙個時刻，當這個時刻以後，恒有
. 實質：可以任意小。
2． 無窮小定義
（無論多小），總存在乙個時刻，當這個時刻以後，恒有
.實質：可以任意小。
3． 無窮大定義
（無論多大），總存在乙個時刻，當這個時刻以後，恒有
.實質：可以任意大。
注：以上「總存在乙個時刻，當這個時刻以後」指的是：
對，意味著：「乙個正整數，當以後」。
對，意味著：「乙個正實數，當以後」。
對，意味著：「乙個正實數，當以後」。
4． 單側極限定義
左極限當時，恒有.
右極限當時，恒有.
二． 極限的性質
1． 惟一性：如果極限存在，則極限值是惟一的
2． 有界性：若數列收斂，則有界。
區域性有界性：若存在，則函式在區域性有界。
3． 區域性保號性：若（或），則在區域性有（或）.反之，若，且在區域性有（或），則（或）.
4． 保序性：若，且，則；反之，若，則在區域性．
5． 子列收斂性：若數列收斂於，則的任何子列也收斂於.
6． 沿點列收斂性：若，則沿以為極限的點列（）函式也收斂於即
7． 夾逼準則：若，且，則存在，且為
8． 單調有界原理：單調有界數列必有極限。
9． 極限與單側極限關係：.
10．復合函式求極限定理：若，且，則
，（ 即：若令，則）．
三． 無窮小與無窮大性質
1．2．無窮小的和、差、積仍為無窮小。
3．無窮小與有界變數之積為無窮小。
4．無窮小與無窮大互為倒數。
5．正（負）無窮大之和為正（負）無窮大。
6．無窮大之積為無窮大。
7．無窮大與極限非零變數之積為無窮大。
8．9．若在極限過程中，且極限存在或為，則
四． 幾個重要極限
1． 2． （），.
3．（型）在極限過程中，如果函式，則
4．（型）當時，有理函式極限為
（其中）
5．（型）在極限過程中，如果函式，則
在極限過程中，如果函式，則
五． 幾組常用的等價無窮小
1． 當時，以下無窮小兩兩等價：
2． 當時，
3． 當時，
4． 當時，
5． 當時， （）.
六． 極限計算方法
（一） 定式極限
1． 若為初等函式，且在點有定義，則
2． 利用無窮小與無窮大的運算性質。
（二） 未定式極限
1．型： 分子分母同除乙個適當的無窮小（通常是約分）。
先將函式恒等變形（通常是有理化、三角變形等），然後再約分。
湊重要極限3.
利用等價無窮小進行替代。
2．型：分子分母同除乙個適當的無窮大。
利用重要極限4. （注意侷限性）
3．型：通過通分、有理化或由對數運算性質等手段將其化為或型。
4．型：將無窮小部分利用等價無窮小進行替代。
由將其化為或型。
5．型： 湊重要極限5.
進行換底：. （化為型）
利用取對數法：設，則，
如果，則
注：以上方法、也適用於型和型。
（三）項和與項積的數列極限
1．先求出和或積的簡化式，再求極限。
2．用夾逼準則。
（四）分段函式在分界點的極限
1．若則
2．若先求左、右極限；， 如果這兩個極限存在且相等，則（或），否則不存在。
例題精講：
1． 當時，若函式為無窮小，且存在正實數，使得，則稱為的階無窮小。證明當時，函式是的階無窮小。
解：因為，
所以，當時，函式是的階無窮小。
2． 求極限
解：（這是型極限，將分子有理化，得）
3．求極限
解：（這是含有三角函式的型極限，為方便使用重要極限，）令，於是
4．求極限
解：（這是極限，為將無窮小部分用等價無窮小替代，對無窮小部分進行改寫。）
5．求極限
解：（這是比較特殊的極限，由於當時，與非常接近，於是）
而，，有界，
所以，6．求極限
解：（這是型極限，為湊重要極限，將開方提出，於是）
7．求極限
解：（這也是型極限，但是湊重要極限比較困難，為此用取對數的方法。）
令，則，於是
所以，8．求極限其中
解：（除去在和在點，這是乙個比較特殊的型極限，可以用方法及重要極限（）求解。）
當時，當時，.
當時，所以，9．設數列（共有個根號），證明存在，並求之。
證明：（數列具有遞推公式或. 因此，可以用單調有界
原理證明存在。）
，所以，單調增加。
用數學歸納法證明（注：數列界的確定，是在求出極限為3的基礎之上。如果乙個數列單調增加（減少），且極限為，則的上（下）界一定可以取為）當時，；設當時成立，即；當時， 於是，對任何正整數都有所以，數列有界。
由單調有界原理，得存在。
為求，設，對遞推公式兩邊取極限，有即，於是得（由極限的惟一性及保號性，應捨去）。
所以，10．求極限（共有個6）.
解：（這個極限可以改寫為項和的數列極限。）
11．設數列，證明
證明：（這是項積的數列極限，簡化式不能求，只可考慮用夾逼準則。為此，）
由 有，而，，所以
12．求的值，使得（其中）.
解：（這是一類題型，已知極限的值，求極限中的待定常數。一般先求左式的極限。）
由，有， 得，
13．若極限存在，且，求.
解：（此題與上例類似，將求極限中的待定常數改為求乙個待定極限，作法也類似。）
由，得同步練習：
1． 求下列極限：
（1（21 ）
（3（4
（5（6
（7（80 ）
（90 ）
（101 ）
（11（121 ）
（13（143 ）
2．設數列滿足， 。證明存在，並求之. （=2 ）
3．求的值，使
4．指出下列函式當如何變化時為無窮小量？當如何變化時為無窮大量？
（1當時為無窮小量；當時為無窮大量 ）
（2）. （當時為無窮小量；當及時為無窮大量 ）
（3）.（當時為無窮小量；當及時為無窮大量 ）
（4當時為無窮小量；當時為無窮大量 ）
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