線性代數
第14章行列式
先研究兩個方程的二元一次方程組：
其中，不妨設，將方程組的第乙個方程等式兩端乘以（），再分別加到第二個方程，即得
情形1 ，此時可解出，再代入第乙個方程可得、分別為
和 ，
情形2 ，此時若，亦即
則方程組無解；否則方程組有無窮多個解。
顯然表示式或在二元一次方程組求解中扮演了重要的角色，我們把它稱為2階行列式。為了便於記憶，將表示式（）記為
，。 由此啟發，若我們考慮n個方程的n元一次方程組時有沒有類似的結論？這自然需要引進n階行列式的概念。
14.1 行列式的概念與性質
行列式定義：由個數組成的階行列式是乙個算式，其結果是乙個數。記為
兩種計算方式：
（1）是的乙個排序，注意和式中有項。
（2）遞迴法計算
當時，，
當時，。
其中，稱為行列式的第i行、第j列的元素，稱為的代數余子式，稱為的余子式。是劃去中的第i行、第j列後剩下的元素按原來的次序排成的n-1階行列式。
證明階行列式的展開式有項。
用數學歸納法，當時，命題顯然，故設時命題為真，
當時，的展開式中的每乙個代數余子式為n-1階行列式，對應的展開式有項，共有個不同代數余子式，故的展開式有項。
行列式的性質
(1) 行列式行列對換，行列式的值不變。即
=(2) 行列式兩行（列）對換，行列式的值反號。即
= (3) 行列式中如果某一行（列）有公因子k，則k可以提到行列式外。
= 特別若行列式某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為零。
(4) 行列式中如果某一行（列）的每個元素都是兩個數之和，則此行列式等於兩個行列式之和。這兩個行列式除這一行（列）外，其餘的行（列）全於原來的行列式的對應行（列）一樣。
=+(5) 行列式中如果某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）對應元素上去，行列式的值不變。
= 特別若行列式某兩行（列）的元素成比例，則行列式的值為零。
(6) 行列式的拉普拉斯展開定理：行列式中按任一行（任一列）用下式展開，行列式的值不變。
行列式的第二種定義方式即是拉普拉斯展開定理的特例（按第一行（列）展開）。
(7) 行列式中某一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等於零。即
， ，
， 。
根據性質（6），這相當於行列式有兩行或兩列對應元素相同，利用性質（5）即得。
幾個特殊的行列式
（1）對角行列式
（2）上三角行列式
（3）下三角行列式
14．2 行列式的計算
例14.2.1 最一般的辦法，要掌握。
例14.2.2 直接用行列式的性質（5）做。
例14.2.3 乙個行列式的計算中常用的技巧。
例14.2.4 =。
例14.2.5 計算五階行列式
解： ===
=。===
14．3 典型例題
例14.3.1
。例14.3.2 按定義做。
例14.3.5 ==
===。
釋例14.3.6 此題用拆項法做是正解，亦可用如下的辦法
===例14.3.6 注意行列式展開式中每一項只能有一行（一列）中一項。
例14.3.7 注意行列式的性質。
例14.3.8 注意並非行列式的根，故須先求行列式的值，迴圈陣的行列式。
== 多項式的韋達定理，。
第15章矩陣
矩陣的理論及其應用是線性代數的核心問題，熟練掌握矩陣的知識是學好線性代數的關鍵。
15.1 矩陣的概念
矩陣的定義：由個數排成m行n列的矩
形數表稱為矩陣，記為，簡記為。數稱為矩陣中的第i行第j列的元素。時，稱為方陣，簡稱為n階矩陣。
的矩陣，稱為n維行向量，如。
的矩陣，稱為n維列向量，如。
所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為。
為了進一步討論矩陣的運算，我們需要建立
同形矩陣的定義：設，，則稱與為同形矩
陣。如果，則稱與相等，記為=。
矩陣的運算
（1） 矩陣的加法：設同形矩陣，，則矩陣
稱為矩陣與的和，記為。
矩陣加法的性質：設、、是三個同形矩陣，則
； ；；
稱為的負矩陣，滿足。
。（2） 矩陣的數量乘法：是乙個數，
矩陣數量乘法的性質：設、是兩個同形矩陣，是兩個數，則
；；； 。
（3） 矩陣的乘法：設矩陣，，則矩陣
稱為與的乘積，記為。
注意：矩陣乘積中的列數必須與的行數相同。
矩陣乘積不滿**換律，即使兩個矩陣，的乘積與都存在也是如此。
，矩陣乘法的性質：設矩陣、、、在下面的矩陣乘積中均能進
行，是乙個數，則
； ；
； 即矩陣乘法滿足結合律與分配律。
（4） 方陣的冪乘：為n階矩陣，個連乘稱為的次冪，記為。
方陣冪乘的性質：是任意兩個正整數，則
； 。
注意：由於矩陣乘積不滿**換律，一般；；
。例15.1.8 乙個構造可交換矩陣的例子。
例15.1.9 其一般化的結論是令，則
。例15.1.10的一般化結論
若，則==。
（5） 矩陣的轉置：稱矩陣是矩陣的轉置矩陣，這裡滿足
注意：若是的矩陣，則是的矩陣。
矩陣轉置的性質：
； ；
； 。
（6） 方陣的行列式：設，則稱為的行列式，這裡
方陣行列式的性質：
； ；
幾個特殊矩陣
（1）單位矩陣 。
單位矩陣滿足，。
（2）對角矩陣 ，常簡記為。
對角矩陣的和、數乘、乘積仍為對角矩陣。
（3）上（下）三角矩陣
上三角矩陣，下三角矩陣。
上（下）三角矩陣的和、數乘、乘積仍為上（下）三角矩陣。
當、均為上三角矩陣時，注意此時，
故 。
同理可得、均為下三角矩陣時的結論。至於對角矩陣的情形，當為上（下）三角矩陣的特例。
15.2 可逆矩陣
可逆矩陣的定義：設，若存在，使成立
則稱為可逆矩陣，並稱為是的逆矩陣，記為。
顯然矩陣與的位置是對等的，表明亦可逆，且。。
矩陣可逆的充要條件：
設，是元素對應的代數余子式，令
，稱為矩陣的伴隨矩陣。
利用方陣行列式的性質，即利用行列式的拉普拉斯展開定理，
，可得 。
由此給出矩陣可逆的充要條件：n階矩陣可逆的充要條件是。此時成立
。釋例15.2.1：設，問：當、、、滿足什麼條件時，矩陣可逆？當可逆時，求。
解： 可逆。
當可逆時。
釋例15.2.2：對角矩陣、上（下）三角矩陣可逆的充要條件是
釋例15.2.3：設，證明。
證明：由，兩邊取行列式，得
。當可逆時，，故。
當不可逆時，等式也成立。
可逆矩陣的性質：
（1） 若矩陣可逆，則其逆矩陣唯一；
證明：。
（2） 若矩陣可逆，則其逆矩陣亦可逆，且；
證明：。
（3） 若矩陣可逆，則其轉置矩陣亦可逆，且；
證明：，。
（4） 若矩陣可逆，常數，則也可逆，且；
（5） 若、為同階的可逆矩陣，則也可逆，且；
證明：，。
（6） 若矩陣可逆，則；
證明：。
（7） 若、是方陣，滿足，則、均可逆，且，；
證明：。用左乘，得；
用右乘，得。
（8） 若矩陣可逆，且，，則有，。
證明：左乘，則有；右乘，則有。
例15.2.3 。
例15.2.4 示為冪等陣。
例15.2.6 含未知矩陣項移到等式的一邊是必須的過程。
15.3 矩陣的初等變換
3種矩陣初等變換的定義及對應的初等變換矩陣：
設是的矩陣
（1） 互換矩陣的某兩行（列）；，=，
驗算可得。
（2）將矩陣某一行（列）元素的倍加到另一行（列）對應元素上去；
，或，=，
驗算可得，，。
（3）用乙個非零常數乘矩陣某一行（列）。
，，驗算可得，。
3種矩陣初等變換的作用於矩陣時，左乘變行，右乘變列。目的在於將矩陣化簡，即化簡為下述的階梯形矩陣；亦可用於求可逆矩陣的逆矩陣等。
階梯形矩陣的定義：形如下列的矩陣稱為階梯形矩陣
階梯形矩陣有如下特徵：
（1） 全零行位於矩陣的下方；
（2） 各非零行的第乙個非零元素（稱為主元）的列指標隨著行指標的遞增而嚴格增大，且。
一般的階梯形矩陣只能由如上定義。但階梯形矩陣的產生背景是線代數方程組求解，在後面介紹的內容中，階梯形矩陣所對應的方程組即可直接求解。在上面的定義中元素前均為零意指階梯形矩陣所對應的方程組中前係數均為零，這樣的方程組顯然可以簡化。
故可將階梯形矩陣簡化為
定理15.3.1 任何矩陣均可經過有限次初等行變換化簡為階梯形矩陣。
用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣
定理15.3.2 若矩陣可逆，則可以經過一系列初等行變換化為。
矩陣求逆的技巧在於構造乙個的矩陣，對進行初
等行變換，當化為單位陣時，單位陣即化為，
。說明：一般對稍微複雜一些的矩陣求逆問題，用伴隨矩陣的辦法求逆時計算工作量太大。而利用初等行變換的技巧求可逆矩陣的逆矩陣是最常用的辦法。
例15.3.2
，此例說明若，則
，當然亦有 。
15.4 矩陣的秩
定義15.4.1在矩陣中，任取行列，位於這行列交叉處的個元素按其原來的次序排成乙個階行列式，稱為矩陣的乙個階子式。
定義15.4.2 矩陣中不為零的子式的最高端數稱為矩陣的秩，記為
。釋例15.4.1：設階梯形矩陣為
則。解：這裡僅需取此矩陣的前行和第列即得上三角行列式
=，注意階梯形矩陣的定義，必。而階梯形矩陣的任何大於階的子式，因其至少有一行全部元素為0，故必行列式為零。
矩陣的秩雖然是乙個非常簡單的數，但卻是矩陣理論中乙個十分深刻的概念，它**代數方程組求解，或是矩陣的特徵問題計算時，均扮演重要的角色。
對矩陣，顯然成立
；； 中有階子式不為零；
中所有大於階的子式均為零；。
矩陣運算後的秩的變化
定理15.4.2 （1）；
（2）；
釋例15.4.2：，此時
和，此時。
（3）；
（4）；
說明；矩陣的每一列均可由的列表示；矩陣的每一行均可由的行表示。
（5）若可逆，則；
證明：。
（6）若，則。
矩陣秩的計算
定理15.4.1矩陣初等變換不改變矩陣的秩。
證明：此因矩陣的三種初等變換所對應的三種初等變換矩陣均為可逆陣，再用定理15.4.2之（5）立知。
利用此定理，計算矩陣秩的乙個簡便方法是將矩陣通過初等行變換得到乙個階梯形矩陣，而顯然階梯形矩陣的主元個數就是的秩（或階梯形矩陣非零行的個數就是的秩）。
例15.4.4 。
15.5 典型例題
例15.5.3 。
例15.5.4 拆項法亦可。
例15.5.7 （b） 降階化簡得 ，
若取，當然滿足。即可逆不能保證一定成立。
形式邏輯裡面的結論：乙個全稱肯定判斷，只需找乙個反例即可。
例15.5.8 （d）直接解出。
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