設二元線性方程組用消元法解得
令稱為二階行列式
則 設三元線性方程組
用消元法解得
令 稱為三階行列式
則 § 2 全排列及其逆序數
一、全排列
個不同元素排成一列。可將個不同元素按1~ 進行編號，則個不同元素的全排列可看成這個自然數的全排列。
個不同元素的全排列共有種。
逆序的定義：取乙個排列為標準排列，其它排列中某兩個元素的次序與標準排列中這兩個元素的次序相反時，則稱這兩個元素構成乙個逆序。
通常取從小到大的排列為標準排列，即 1~ 的全排列中取123 為標準排列。
二、逆序及逆序數
逆序數的定義：乙個排列的逆序數的總數稱為逆序數。
逆序數為偶數稱為偶排列，逆序數為奇數稱為奇排列，標準排列規定為偶排列。
例：討論 1 ， 2 ， 3 的全排列。
逆序數的計算：設為的乙個全排列，則其逆序數為
其中為排在前，且比大的數的個數。
例：求的逆序數。
解： ，
下面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式。
二階行列式
其中 ① 是的全排列， ② 是的逆序數， ③ 是對所有的全排列求和。
三階行列式
其中 ① 是的全排列， ② 是的逆序數， ③ 是對所有的全排列求和。
n 階行列式的定義
其中 ① 是的全排列， ② 是的逆序數， ③ 是對所有的全排列求和。
例： ，
對換的定義：乙個排列中某兩個元素的位置互換成為對換。
定理 1 對換一次改變排列的奇偶性。
定理 2 階行列式為
其中為的逆序數。
§5 行列式的性質
轉置行列式的定義
設稱為的轉置行列式。
性質 1 行列式與它的轉置行列式相等。
性質 2 行列式互換兩行（列），行列式變號。
推論行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零。
性質 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數 ，等於用數乘以該行列式。
推論行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外。
性質 4 行列式中有兩行（列）的元素對應成比例，則此行列式為零。
性質 5 若行列式中某一行（列）的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個行列式之和。
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