第五章相似矩陣及二次型
§1 向量的內積、長度及正交性
在這一章中, 我們主要討論方陣的相似對角化和二次型的化簡的問題, 其中會用到向量的內積, 特徵值和特徵向量的概念. 我們在這一節中介紹向量的內積的概念.
一. 內積, 長度和夾角.
在平面解析幾何裡, 我們有向量的長度, 夾角的概念, 我們希望在向量空間中也能夠定義長度, 夾角的概念. 通過引入向量的內積的概念, 我們就能夠利用內積來定義向量空間中的向量的長度和夾角概念. 我們首先來看平面解系幾何裡內積是怎麼定義的.
在平面中, 引進直角座標系
向量的數量積(即內積), 其中,分別是向量和的長度,是向量和的夾角.
若, , 則可以證明.
的長度:.
若, , 則, 所以.
所以在平面解系幾何裡, 向量的長度和夾角都可用向量的數量積表示. 下面我們把平面上的數量積的概念推廣到向量空間中, 這就是我們下面要介紹的內積的概念. 我們來看內積的定義.
定義. 設, ,稱為與的內積. 所以兩個向量的內積就是把兩個向量的對應分量相乘相加.
利用內積的定義, 我們可以證明下面的簡單的內積的性質.
性質. 設,是實數.
(i).
(ii).
(iii).
(iv). 即.
由(i), (ii)知.
類似的由(i), (iii)知.
利用上面的性質可以證明施瓦茨不等式.
施瓦茨不等式:.
引入了向量的內積的概念以後, 我們就可以定義向量的長度和夾角的概念. 我們先來看向量的長度的定義.
定義., 稱為向量的長度(或範數), 其中.
若, 則稱為單位向量.
關於向量的長度, 我們有下面的簡單性質.
性質(i), 且.
(ii), 其中是實數,是維向量. (注意這個性質與行列式的性質的區別. 若是階矩陣,是實數, 則.)
(iii) 三角不等式.. (對於平面上的向量來說, 這個性質的幾何意義就是兩邊之和小於等於第三邊.)
證: (i)與(ii)是顯然的. 下面我們證明(iii). 要證.
只要證.
而所以.
下面我們利用內積來定義兩個向量的夾角.
若, , 則稱為向量與的夾角.
在這個定義裡我們需要說明這個定義是合理的. 因為我們知道, 所以我們需要證明. 根據施瓦茨不等式, 我們有. 所以. 所以.
在平面解系幾何裡我們有垂直的概念, 下面我們把垂直這個概念推廣到向量空間中去, 這就是我們下面要介紹的正交的概念.
如果兩個向量做內積等於零, 我們就稱這兩個向量正交. 若, 則稱與正交.
關於向量的正交的概念我們要注意兩點.
注意: 1.零向量與任何向量正交.
2. 若, , 則與正交. 也就是說兩個非零向量正交當且僅當它們的夾角是. 所以正交這個概念是向量垂直的推廣.
二. 規範正交基.
下面我們引進規範正交基的概念, 在引進正交基的概念之前我們需要引進正交向量組的概念. 所謂正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量.
定義. 正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量.
注意正交向量組裡的每個向量都要求是非零向量. 關於正交向量組我們有下面的簡單性質.
定理. 若維向量是乙個正交向量組, 則線性無關.
證: 設. 要證.
則, ().
但是,. 所以.
因為, 所以, (). 所以線性無關引進了正交向量組的概念以後, 我們就可以引進規範正交基的概念. 什麼叫規範正交基.
定義. 設是向量空間的乙個基,是正交向量組, 且都是單位向量, 則稱是的乙個規範正交基.
我們前面說過, 取定向量空間的一組基相當於是取定了向量空間的乙個座標系, 那麼在向量空間中取定一組規範正交基, 相當於是取定了向量空間的乙個直角座標系.
例. 若,. 則是的乙個規範正交基.
關於規範正交基, 我們有下面簡單的性質.
性質. 設是的乙個規範正交基, , ,
則.證:, 所以所以如果在向量空間中取定了乙個規範正交基, 那麼向量空間中的向量在這組規範正交基下的座標可以通過內積來計算.
下面我們討論如何通過向量空間的取定的基來構造這個向量空間的規範正交基. 我們有下面這樣乙個定理.
定理. 設是向量空間的乙個基.
正交化: 令,
則兩兩正交, 且與等價 ().
再把它們單位化, 令, ,. 則是的乙個規範正交基.
上面講的從線性無關的向量組匯出正交向量組的過程稱為施密特正交化過程.
這個定理在這裡我們就不證了, 你們要把這個定理的結論記住.
例. 設, ,. 試用施密特正交化過程把這組向量規範正交化.
解: 正交化: 令,, .
單位化: 令例. 已知. 求一組非零向量, , 使兩兩正交.
解:滿足方程. 求得基礎解系為,.
把正交化, 令,. 則,即為所求
三. 正交矩陣和正交變換.
在這節課的最後我們引進正交矩陣和正交變換的概念. 我們先來看正交矩陣的定義.
定義. 若階矩陣滿足, 則稱為正交矩陣.
關於正交矩陣我們有下面的簡單性質.
性質 1.為正交矩陣是的一組規範正交基.
即, , 且若, 則.
2..3. 若為正交陣, 則也是正交陣, 且或.
4. 若都是正交陣, 則也是正交陣.
證: 1. 根據定義,為正交矩陣
所以結論成立.
2. 若, 則. 所以.
3. 第乙個結論由2即可.
. 所以或.
4. 因為, ,
所以引進了正交矩陣以後, 我們就可以定義正交變換.
定義. 設為階矩陣, , 則關係式稱為從變數到變數的線性變換,
如果是可逆矩陣, 則稱是可逆的線性變換, 如果是正交矩陣, 則稱為正
交變換.
關於正交變換, 我們有下面的非常好的性質.
性質. 設為正交變換, 則.
根據這條性質, 我們知道正交變換保持向量的長度不變.
證這一節裡最重要的就是關於施密特正交化的定理, 你們要把施密特正交化過程牢牢記住.
§2 方陣的特徵值與特徵向量
我們前面已經說過了, 這一章我們主要討論方陣的對角化問題和二次型的化簡問題, 這兩個問題可以歸結為計算方陣的特徵值和特徵向量的問題. 這一節我們討論方陣的特徵值和特徵向量,
矩陣的特徵值和特徵向量給出了矩陣的重要資訊, 這些概念在純數學和應用數學的眾多領域中都有重要的應用, 它們在量子
力學和經濟學當中也有應用.
我們先來看它們的定義.
定義. 設a是n階矩陣, 如果存在數和, 使, 則稱為方陣a的特徵值,稱為a的屬於特徵值的乙個特徵向量.
注意特徵向量一定是非零向量.
根據上面的定義我們知道
是階矩陣的特徵值有非零解 (特徵值對應的特徵向量就是這個方程的非零解.) 有非零解.
所以計算矩陣的特徵值的問題轉化為計算矩陣的行列式的問題.
是乙個關於的多項式, 稱之為a的特徵多項式.
是a的屬於特徵值的乙個特徵向量是的非零解.
所以計算矩陣的特徵值對應的特徵向量的問題轉化為求齊次方程組的解的問題.
2節課完
下面我們討論矩陣的特徵值和特徵向量的幾個簡單性質.
性質1. 設為階矩陣, 則在複數範圍內有個根(重根按重數計算). (若, 則稱為多項式的根.
) (這是因為矩陣的特徵多項式是次多項式, 根據代數基本定理, 任何乙個次多項式在複數範圍內都有個根, 所以矩陣的特徵多項式在複數範圍內有個根.) 代數基本定理的證明需要用到復變函式的知識, 我們就不去討論它的證明了. 所以有個特徵值.
根據多項式的根與係數的關係, 我們可以證明
(1).
(2).
例1. 求矩陣a =的特徵值和特徵向量.
解: = –(1+)(2–)2,
所以a的特徵值為: 1= –1, 2=3=2. (所以)
當1=–1時, 解方程組( a+e )x = 0.
, 令, 求得,
所以是基礎解系. 所以對應的所有特徵向量為().
當2=3=2時, 解方程組( a–2e )x = 0.
, 分別令和. 求得和. 所以,是基礎解系.
所以對應於2=3=2的所有特徵向量為k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同時為零
性質2. 設是矩陣a的特徵值, (x)=則
(1) m是矩陣am的特徵值(); ()是矩陣多項式(a)的特徵值.
(2) 當a可逆時, 則是逆陣的特徵值.
證: 因為是a的特徵值, 所以存在, 使.
(1). 所以是矩陣a2的特徵值.
.用歸納可證. 所以是矩陣ak的特徵值.
(2)當a可逆時, 則 0, (否則, 矛盾. 或者利用性質1(2).)
則由可得,. 所以.
所以是逆陣的特徵值
定理:若是階矩陣的所有特徵值, (x)=, 則
是的所有特徵值, 所以. (證明需要用到若當標準形).
例2. 設階矩陣的特徵值為. 求.
解: 設有個特徵值, 則.
所以只要求出的所有特徵值.
, 所以.
令, 則.
雖然不是矩陣多項式, 但是它的性質和矩陣多項式的性質是類似的.
所以的特徵值分別是.
所以性質3. 設1, 2, ···, m 是的個互不相等的特徵值,是特徵值i的特徵向量, 則p1, p2, ···, pm線性無關.
根據這個結論我們知道屬於不同特徵值的特徵向量線性無關.
證: 設. 要證.
上面等式兩邊同時左乘().
則有所以, 記.
因為是范德蒙行列式, 1, 2, ···, m互不相等, 所以, 所以可逆.
第五章線性代數
備考要點 線性代數部分的考點主要包括行列式，矩陣，向量，線性方程組和特徵值問題五個部分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性質，行列式展開定理，行列式的計算 矩陣部分主要考查矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣，矩陣的初等變換 向量部分主要考查向量組的線性相關和線性無關，向量組的秩和矩陣的秩 線性方程組...
線性代數教案
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初中代數第五章 二元一次方程組 能力自測題 滿分100分，時間90分 歡迎光臨初中數學 1 選擇題 每小題4分，共24分 1 表示二元一次方程組的是 a b c d 2 方程組的解是 a b c d 3 設則 a 12 b c d 4 設方程組的解是那麼的值分別為 a b c d 5 方程的正整數解...