第4章矩陣的初等變換與線性方程組
1．把下列矩陣化為行最簡形矩陣：
(12) ;
(3) ;
解 (1)
(2)(3)
2．在秩是的矩陣中,有沒有等於0的階子式?有沒有等於0的階子式?解在秩是的矩陣中,可能存在等於0的階子式,也可能存在等於0的階子式.
例如，同時存在等於0的3階子式和2階子式.
3．從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的秩的關係怎樣?
解設，且的某個階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與相同的階子式，由於，故而.4．求下列矩陣的秩,並求乙個最高端非零子式：
(12) ；
(3) .
解 (1)
二階子式．
(2).二階子式．
(3)秩為3三階子式．
6．求解下列齊次線性方程組:
(1) (2)
(3) (4)
解 (1) 對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
(2) 對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
(3) 對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
(4) 對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
7．求解下列非齊次線性方程組:
(12)
(34)
解 (1) 對係數的增廣矩陣施行行變換,有而,故方程組無解．
(2) 對係數的增廣矩陣施行行變換:
即得亦即
(3) 對係數的增廣矩陣施行行變換:
即得即(4) 對係數的增廣矩陣施行行變換:
即得即8．取何值時,非齊次線性方程組
(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個解?
解 (1) ,即時方程組有唯一解.
(2)由得時,方程組無解.
(3) ,由,
得時,方程組有無窮多個解.
9．非齊次線性方程組
當取何值時有解？並求出它的解．
解 方程組有解，須得
當時,方程組解為
當時,方程組解為
10．設
問為何值時,此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？並在有無窮多解時求解．
解 當,即且時，有唯一解.
當且，即時，無解.
當且，即時，有無窮多解.
此時，增廣矩陣為
原方程組的解為 ()
11．試利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣：
(12) .
解 （1）
故逆矩陣為
(2)故逆矩陣為
12．(1) 設,求使;.解(1)
線性代數第1 5章習題詳解
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