【備考要點】
線性代數部分的考點主要包括行列式，矩陣，向量，線性方程組和特徵值問題五個部分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性質，行列式展開定理，行列式的計算；矩陣部分主要考查矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣，矩陣的初等變換；向量部分主要考查向量組的線性相關和線性無關，向量組的秩和矩陣的秩；線性方程組主要考查線性方程組的克萊姆法則，線性方程組解的判別法則，齊次和非齊次線性方程組的求解；特徵值問題主要考查特徵值和特徵向量的概念，相似矩陣，特徵值和特徵向量的計算，n階矩陣可化為對角矩陣的條件和方法。
第一節行列式
行列式是線性代數的乙個重要工具。線性代數中很多重要的問題都可以用行列式來討論，例如，n階行列式可以用來判斷n元向量的線性相關性，判別矩陣是否可逆，判別係數矩陣為方陣的線性方程組的解是否唯一，當有唯一解時還可以用克萊姆法則求線性方程組的解，還可以用來求矩陣的特徵值。因此，就備考gct考試來說，掌握行列式是至關重要的第一站。
【解題技巧】
【必知公式】
行列式的定義：
一階行列式定義為
二階行列式定義為＝
在n階行列式中，劃去元素所在的第行和第列，剩餘元素構成n-1階行列式，成為元素的余子式，記做。 令，則稱為的代數余子式。
n階行列式的定義為＝+
行列式的性質：
行列式中行列互換，其值不變
＝行列式中兩行（列）對換，其值變號
＝－行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外
＝行列式中如果有一行（列）每個元素都由兩個數之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和
＝＋由以上四條性質，還能推出下面幾條性質：
行列式中如果有兩行（列）元素對應相等，則行列式的值為0
行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則行列式為 0
行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式值為 0
行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），則其值不變
＝n階行列式的展開性質：
=等於它的任意一行的各元素與其對應的代數余子式的乘積和，即
按列展開定理
＝+n階行列式的某一行的各元素與另一行對應元素的代數余子式的乘積和等與零，即
+＝0按列展開的性質
+＝0特殊行列式
＝ 上（下）三角行列式和上面的對角行列式的結果相同。
第二節矩陣
矩陣是線性代數中最重要的研究物件，熟練掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置、求逆和初等變換等運算是學好線性代數的重要基礎。
【解題技巧】
【必知公式】
1． 矩陣的概念和運算．矩陣的加法、數乘、乘法、轉置、方陣的冪乘的定義及性質。
矩陣乘法定義：
矩陣乘法不滿**換律和消去律。滿足結合律和左（右）乘分配律。
若a可逆，則b=c
a，b是n階方陣，則
2．逆矩陣
定義：對方陣a，若存在方陣b使得ab=ba=i
a可逆公式： ,
3．伴隨矩陣
定義：＝
基本關係式：
與逆矩陣的關係：
行列式：
4．矩陣方程
設a是n階方陣，b是矩陣，若a可逆，則矩陣方程有解，其解為
.設a是n階方陣，b是矩陣，若a可逆，則矩陣方程有解，其解為
.5．矩陣的秩
在矩陣a中，任取k行k列，位於這k行k列交叉處的個元素按其原來的次序組成乙個k階行列式，稱為a的乙個k階子式。
若矩陣a中有乙個r階子式不為零，而所有r＋1階子式全為零，則稱矩陣a的秩為r，記作r(a).
顯然有 ， ；
a中有乙個r階子式不為零；
a中所有r＋1階子式全為零；
對於n階方陣a，；
對於n階方陣a，若，則稱a是滿秩方陣。
6．矩陣的秩有以下一些常用的性質：
,，（）；；，；
，其中n為矩陣a的列數；
若，則。
若a可逆，則；若b可逆，則。
第三節向量
【必知公式】
1．向量組的線性組合與線性表示
設是n維向量，是數，則稱為向量的乙個線性組合。
若，則稱可由線性表出。
2．線性相關與線性無關
定義：設是n維向量，若存在不全為零的數，使得＝0，則稱線性相關，否則稱為線性無關。
定理：若線性無關，而，線性相關，則可由線性表出，且表示法唯一。
判斷設是n維向量，線性相關存在某個向量可被其餘s－1個向量線性表出。
n個n維向量線性相關。
n＋1個n維向量必線性相關。
增加向量組向量的個數，不改變向量組的線性相關性；
減少向量組向量的個數，不改變向量組的線性無關性。
增加向量組向量的維數，不改變向量組的線性無關性；
減少向量組向量的維數，不改變向量組的線性相關性。
含有零向量的向量組必線性相關。
含有兩個相同向量的向量組必線性相關。
3．向量組的秩和極大線性無關組
定義：設向量組是向量組的乙個部分組，滿足
（1）線性無關；
（2）向量組的每乙個向量都可以由向量組線性表示出，
則稱是向量組的乙個極大線性無關組。向量組的極大線性無關組中所含向量的個數稱為這個向量組的秩。
求法任何矩陣都可以通過矩陣的行初等變換化作階梯形。
求極大線性無關組的步驟：
（1）將向量依次按列寫成矩陣；
（2）對矩陣施行行初等變換，化作階梯形；
（3）主元所在列標對應到原向量構成乙個極大線性無關組。
例如（行初等變換）
主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此的乙個極大線性無關組是，且。
4．向量組的秩與矩陣的秩
設a是矩陣，將矩陣的每個行看作行向量，矩陣m個行向量構成乙個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。
將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的n個列向量構成乙個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。
矩陣的行秩＝矩陣的列秩＝矩陣的秩。（三秩相等）
第四節線性方程組
【必知公式】
1．齊次線性方程組有非零解的判定條件
設，齊次線性方程組ax=o 有非零解r(a) ax=o只有零解r(a)＝0，即係數矩陣滿秩。
設a是n階方陣，齊次方程組ax=o 有非零解；
ax=o只有零解.
設，當m2．齊次線性方程組解的性質
若是齊次線性方程組ax=o的解，則和仍是ax=o的解；
若是齊次線性方程組ax=o的解，則的任意常數倍仍是ax=o的解。
3．齊次線性方程組ax=o解的結構
ax=o的乙個基礎解系.
其要點為：
（1）都是ax=o的解；
（2）它們是線性無關的；
（3）ax=o的任何乙個解都可以由它們線性表出。因此基礎解系往往不是唯一的。
若n元齊次線性方程組ax=o的係數矩陣a的秩r(a)=r，則基礎解系中含有n－r個線性無關的解向量。（這一點和上面的（3）等價，即t=n－r）
若是齊次線性方程組ax=o的乙個基礎解系，則齊次線性方程組ax=o的通解（一般解）是
其中是任意常數。
解齊次線性方程組ax=o的基本方法
解齊次線性方程組ax=o的基本步驟：
（1）對係數矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；
（2）假設有r個非零行，則基礎解系中有n－r個解向量，選非主元所在的列的變數為自由未知量；
（3）將自由變數依次設為單位向量，求得所需的線性無關的解向量。
4．非齊次線性方程組有解的判定
非齊次線性方程組有解的充分必要條件是係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，即
若n元非齊次線性方程組有解，即＝
當r=n時，方程組有唯一解；
當r5．非齊次線性方程組解的性質
設是非齊次線性方程組的兩個解，則是匯出組的乙個解。
非齊次線性方程組的任一解與匯出組的解的和是非齊次線性方程組的解。
6．非齊次線性方程組解的結構
非齊次線性方程組的通解（一般解）是非齊次線性方程組的乙個特解＋匯出組的基礎階層的線性組合。
設非齊次線性方程組，若＝，是的乙個特解，是匯出組的基礎解系，則的通解（一般解）是
其中是任意常數。
第五節矩陣的特徵值和特徵向量
【必知公式】
1．特徵值的定義：設，，，是a的特徵值，x是a的屬於特徵值的特徵向量。
2．特徵值的性質
若都是a的屬於的特徵向量，則也是a的屬於特徵值的特徵向量。
若是a的屬於特徵值的特徵向量，是非零常數，則也是a的屬於特徵值的特徵向量。
3．特徵值的求法
a的特徵多項式：
.由屬於的特徵向量。（求基礎解系）
屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關。
4．相似矩陣
定義：設，若存在可逆矩陣p，滿足，則稱b相似於a, 記作a~b.
5．相似矩陣的性質
相似矩陣由相同的秩，相同的跡，相同的行列式，相同的特徵值。
6．n階方陣的相似對角化的條件
n階方陣a可對角化a有n個線性無關的特徵向量。
n階方陣a可對角化a的每個特徵值的重數等於它對應的線性無關的特徵向量的個數，即若（其中），則n階方陣a可對角化,.
方陣a有n個不同的特徵值a可對角化。
7．方陣的相似對角化的步驟
（1）解a的特徵多項式：
求出a的n個特徵值.（其中可能有相重的特徵值）
（2）解特徵方程 (）,求出a的每個特徵值對應的線性無關的特徵向量，即求的基礎基礎解系。
（3）若a共有n個線性無關的特徵向量，則令()，有
. 注意與的對應關係。
線性代數教案 第五章
第五章相似矩陣及二次型 1 向量的內積 長度及正交性 在這一章中,我們主要討論方陣的相似對角化和二次型的化簡的問題,其中會用到向量的內積,特徵值和特徵向量的概念.我們在這一節中介紹向量的內積的概念.一.內積,長度和夾角.在平面解析幾何裡,我們有向量的長度,夾角的概念,我們希望在向量空間中也能夠定義長...
初中代數第五章
初中代數第五章 二元一次方程組 能力自測題 滿分100分，時間90分 歡迎光臨初中數學 1 選擇題 每小題4分，共24分 1 表示二元一次方程組的是 a b c d 2 方程組的解是 a b c d 3 設則 a 12 b c d 4 設方程組的解是那麼的值分別為 a b c d 5 方程的正整數解...
第五章線性規劃
2 步驟 a，整理為正則方程組，求初始基本可行解，帶入目標函式，判斷是否最優 b，從原來的非基變數中選出乙個進基變數稱為新的基變數 目標函式的係數中最小的數 絕對值最大的負係數 從原來的基變數中選出乙個離基變數使其成為新的非基變數 minl b l a lk xk且滿足非負要求 c，求出另一組基本可...