一、 填空題
1、設a為三階方陣且，則 108
23、若方程組有非零解，則常數 -1
4、設，且與線性相關，則常數 -1
5、中第1行第二列元素的代數余子式= -12
6、商量組（1,2），（3,4）（4,6）的秩為 2
7、設矩陣,則的特徵值為 1,1/2
8、若矩陣a可逆，且，則x= b/2 。
9、若向量與正交，則t= 4
10、設齊次線性方程組中有4個未知量，且，則的基礎理解系中線性無關的解向量有 1 個。
11、設a為n階可逆矩陣，若行列式，則= n
12、中第2行第3 列元素的代數余子式= 6
13、設矩陣,，則
14、若向量組，，線性相關，則k= -3
15、若矩陣的秩為1，則t= 6
16、若向量組滿足，則線性相關 。
17、設a,b為n階可逆矩陣，則= b逆a逆 。
18、如果6是a的乙個特徵值，則的乙個特徵值為 1/6 。
19、若向量與正交，則x= 7
20、n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 r(a)二、單項選擇題（每小題1.5分，共15分）
1、=（ d ）。
(a) 0 (b)60 (c)-60 (d)120
2、設a,b為n階方陣，下列等式中恆正確的是（c ）。
(ab)
(cd)
3、設矩陣,b=,c=,則下列矩陣運算有意義的是（b ）
(a)acb (b)abc (c)bac (d)cba
4、設，是非齊次線性方程組的解，是對應齊次線性方程組的解，則必有乙個解是（ a ）。
(a) (b) (c) (d)
5、設d==1，則=（c ）。
(a) -1 (b) 1 (c) -2 (d) 2
6、設a,b為n階方陣，則的充分必要條件是（d ）。
(a)a=e (b)b=0 (c)a=b (d)ab=ba
7、設可由向量，線性表示，則下列向量中只能是（ d ）。
(a)（2,1,1） (b)（-3,0,2） (c)（1,1,0） (d)（0，-1,0）
8、設a,b為n階方陣，則下列命題成立的是（d ）。
(a)若a,b可逆，則 (b)若，則x=y
(c)若ab=0，則a=0或b=0d)若，則或
9、設均是4維向量，其中線性相關，則（b ）。
(a)必可由線性表出 (b)必是的線性組合
(c)必線性相關d)必線性相關
10、已知a相似於，則（a ）。
(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d)2
11、設矩陣和，其中，則下列運算不可行的是（c ）。
(a) ab (b)ba (c)a+b (d)
12、若=1，則=（d ）。
(a) 1b) 2c) -1 (d) -2
13、以下結論正確的是（d ）
(a)若方陣a的行列式,則a=0
(b)若a為對稱矩陣，則也是對稱矩陣
(c)若=0，則a=0
(d)對任意的同價方陣a,b有
14、方程組有解得充分必要條件是（ a ）。
(a)a=2 (b) a=-2 (c) a=3 (d) a=-3
15、設是非齊次線性方程組的解，則=（d ）。
(a)是的解 (b)是的解
(c) 的解 (d)是的解
16、設a為n階可逆矩陣，則下列命題中錯誤的是（a ）。
(a)必可逆 (b)必可逆 (c)a+e必可逆 (d)-2a必可逆
17、設矩陣秩為m，且m(a)a中任意m個列向量都線性無關
(b)a的任意m階子式都不等於0
(c)a的每一列都是其它列的線性組合
(d)a中存在乙個m階子式不為0
18、n階方陣a相似於對角矩陣的充分必要條件是a有n個（c ）。
(a)互不相同的特徵值b)互不相同的特徵向量
(c)線性無關的特徵向量 (d)兩兩正交的特徵向量
19、如果線性無關的向量組可由向量組線性表示，則（ b。
(a) m=n (b) (cd) 無法確定
20、設有二次型，則（ ）。
(a)正定 (b) 負定 (c) 不定 (d)半正定
三、計算題
1． 解：1 a a a 1+a+a+a a a a
a-1 1-a 0 0 0 1-a 0 0
a-1 0 1-a 0 0 0 1-a 0
a-1 0 0 1-a 0 0 0 1-a
=（1+3a）(1-a)(1-a)(1-a)
2.設，，求與。
解：11+1/2+1/3 11/6
2 × 1,1/2,1/3 = 2+1+2/3 = 11/3
33+3/2+1 11/2
1,2,3 1 =1×1＋2×1/2＋3×1/3=3
× 1/2
1/33.設，求.
解：a*=1 -1 0 |a|=1
0 1 -1
0 0 1
=a*/|a|=a*
4.設矩陣,，且,求x.
解：x=(b-2a)/2
2 -2 4 2 0 -2 0 -2 6
x=（6 2 -4 - 4 -6 0 ）×1/2=( 2 8 -4)×1/2
4 10 -6 10 2 66 8 -12
0 -1 3
= 1 4 -1
-3 4 -6
5.求矩陣的秩。
解：6.求向量組的乙個極大無相關組，並把其餘向量用該極大無關組線性表示。
解：a=()
1 4 1 1 4 1
0 -18 -10 0 -9 -5 1 4 1 1 0 -11/9
0 -9 -5 0 0 0 0 1 5/9 0 1 5/9
0 -9 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
1= 0 2= 1
0 0
3=-11/91+5/92
7． 解：3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 0 0 3×0 2 0 -3×0 2 0 +3×1 0 0 -3×1 0 0
3 0 2 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 2 0
3 0 0 3
=3×1×2×3=18
8.設，且ab=ba,求。
解：4 y =2+xy 4-y
2x-1 xy 1 2
解得，x=1，y=2
9.設a,b為3階方陣，且，，求。
解：2^3×|a|×|b|^2×|a|=8
10、設矩陣x=，求x。
解：設x1 x2
x3 x4
2x1=4
3x4=6
解得，x1=2,x4=2,x2,x3任意
11.已知，，，如果，求
解： 原式可化簡為
+3-4+4β=0
把已知條件帶入此式得（-2，8，1，-1）+4β=0
所以β=（-，-2，，- ）
12.求方程組的基礎解系。
解：1 0 1 0 = 1 0 1 0
1 -1 -1 1 0 1 2 -1
x1=-x3
x2=-2x3+x4
x1 = x3
x2 = -2x3+x4
x3 = x3
x4 = x4
四．綜合題
1.設矩陣,求a的特徵值和特徵向量。
解：|2、設，問k取何值時，方程組無解，有唯一解？
解:1 1 -1 -1 = 1 1 -1 -1
2 k -2 2 0 0 1+k 2k+4
k 2 1 k 0 k_2 0 4
k=2ork=-1，無解；k≠-1,2，-2
3.設矩陣,求a的特徵值和特徵向量。
解： -2 1 1
|i-a|= 0 -3 -1 =（-2）（-3）（-1）+（-2）
0 1 -1
=（-2）（^2-4+4）
=(-2)^3=0
=22是矩陣a的三重特徵根
特徵向量：x=k1【1,0,0】^t+k2【0,1，-1】^t
4、求向量組的秩及其乙個極大線性無關組。
解：-1 1 0 1 2
-1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 -1 -1 1 -1
= -1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
r=3,(a1,a2,a4)
五．證明題
設a為n階方陣，e為n階單位矩陣，滿足方程,證明a可逆，並求。
證明：因為
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