《線性代數與空間解析幾何》小結
《線性代數》部分小結
：全體維實向量構成的集合叫做維向量空間.
√ 關於：
稱為的標準正交基；
線性無關；；④；
⑤任意乙個維向量都可以用線性表示.
[, ]
行列式的性質：①按行展開，零行為零，②等行為零，③拆項分和，④初等變換（提取因子，換行變號，倍加不變），比例為零，⑤轉置相等.
√ 行列式的計算：
行列式按行（列）展開定理：行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.
推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等於零.
若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式）
上三角、下三角、主對角行列式等於主對角線上元素的乘積.
④關於副對角線： （即：所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數和）
⑤範德蒙德行列式：
由個數排成的行列的表稱為矩陣.記作：或
[, ]，為中各個元素的代數余子式.
√ 逆矩陣的求法:
√ 方陣的冪的性質：
√ 設的列向量為,的列向量為，
則 ， 為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為係數矩陣.
同理：的行向量能由的行向量線性表示，為係數矩陣.
即： √ 用對角矩陣乘乙個矩陣,相當於用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量；
用對角矩陣乘乙個矩陣,相當於用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量.
√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘.
√ 分塊矩陣的轉置矩陣：
分塊矩陣的逆矩陣
分塊對角陣相乘： ,
分塊對角陣的伴隨矩陣：
√ 矩陣方程的解法()：設法化成
1 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.
2 單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.
3 部分相關,則整體相關；整體無關,則部分無關. （向量個數變動）
4 少維無關，則多維無關；多維相關,則少維相關. （向量維數變動）
5 兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.
6 向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.
7 向量組線性相關向量組中至少有乙個向量可由其餘個向量線性表示.（相關有一被錶出）
向量組線性無關向量組中每乙個向量都不能由其餘個向量線性表示.（無關無一被錶出）
8 維列向量組線性相關；
維列向量組線性無關.
9 若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一.(無關加一變相關，後加唯一被表出)
10 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩，（三秩相等）.行階梯形矩陣的秩等於它的非零行的個數.
可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個台階只有一行，台階數即是非零行的行數，階梯線的豎線後面的第乙個元素非零.當非零行的第乙個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為
11 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關係；(行變不改列相關)
矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關係. （列變不改行相關）
即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.
√ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關係：
對施行一次初等變換得到的矩陣,等於用相應的初等矩陣乘；
對施行一次初等變換得到的矩陣,等於用相應的初等矩陣乘.
如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作
向量組的最大無關組所含向量的個數，稱為這個向量組的秩.記作
[, ]經過有限次初等變換化為. 記作：
[, ]和可以相互線性表示. 記作：
12 矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.
矩陣與作為向量組等價
矩陣與等價.
13 向量組可由向量組線性表示有解≤.
14 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.（多被少錶出，多的必相關）
向量組線性無關,且可由線性表示,則≤.（無關被表出，個數不會多）
15 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；
16 任一向量組和它的最大無關組等價.向量組的任意兩個最大無關組等價.
17 向量組的最大無關組不唯一，但最大無關組所含向量個數唯一確定.
18 若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.
19 設是矩陣,若，的行向量線性無關；
若，的列向量線性無關,即：線性無關.
√ 矩陣的秩的性質：
⑥ 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.
⑦若；若
⑧等價標準型.
：線性方程組解的性質：
√ 設為矩陣,若一定有解，
當時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關.
是的上限.
√ 判斷是的基礎解系的條件：
線性無關；
都是的解；
③.√ 乙個齊次線性方程組的基礎解系不唯一.
√ 若是的乙個解，是的乙個解線性無關
√與同解（列向量個數相同）,則：
① 它們的最大無關組相對應,從而秩相等；
② 它們對應的部分組有一樣的線性相關性；
③ 它們有相同的內**性關係.
√ 兩個齊次線性線性方程組與同解.
√ 兩個非齊次線性方程組與都有解，並且同解.
√ 矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；
矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.
√ 關於公共解的三中處理辦法：
1 把(i)與(ii)聯立起來求解；
2 通過(i)與(ii)各自的通解，找出公共解；
當(i)與(ii)都是齊次線性方程組時，設是(i)的基礎解系,是(ii)的基礎解系，則 (i)與(ii)有公共解基礎解系個數少的通解可由另乙個方程組的基礎解系線性表示.
即： 當(i)與(ii)都是非齊次線性方程組時，設是(i)的通解，是(ii)的通解，兩方程組有公共解可由線性表示. 即：
3 設(i)的通解已知，把該通解代入(ii)中，找出(i)的通解中的任意常數所應滿足(ii)的關係式而求出公共解。
[, ]個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.
[, , , , ]
[, ]. 記為：
[, , , ]
[, , ]. 即長度為的向量.
√ 內積的性質： ① 正定性：
對稱性：
③ 雙線性：
[, ] .
[, ] .
√是矩陣的特徵多項式
[, ].
√ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特徵值就是主對角線上的各元素.
√ 若,則為的特徵值,且的基礎解系即為屬於的線性無關的特徵向量.
√一定可分解為=、,從而的特徵值為：, .
為各行的公比，為各列的公比.
√ 若的全部特徵值，是多項式,則:
① 若滿足的任何乙個特徵值必滿足
②的全部特徵值為；.
√ 初等矩陣的性質：
√ 設，對階矩陣規定：為的乙個多項式.√√
√的特徵向量不一定是的特徵向量.
√與有相同的特徵值，但特徵向量不一定相同.
[, , , , , , ] （為正交矩陣）
[, ] 與對角陣相似. 記為： （稱是的）
√可相似對角化為的代數重數恰有個線性無關的特徵向量. 這時,為的特徵向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特徵值.設為對應於的線性無關的特徵向量,則有：
. ：當為的重特徵值時，可相似對角化的重數基礎解系的個數.
√ 若階矩陣有個互異的特徵值可相似對角化.
√ 若可相似對角化,則其非零特徵值的個數（重根重複計算）.
√ 若=，
√ 相似矩陣的性質：
①,從而有相同的特徵值,但特徵向量不一定相同.
是關於的特徵向量,是關於的特徵向量.
② ③ 從而同時可逆或不可逆
④⑤； （若均可逆）；
⑥ （為整數）；，
⑦前四個都是必要條件.
√ 數量矩陣只與自己相似.
√ 實對稱矩陣的性質：
① 特徵值全是實數,特徵向量是實向量；
② 不同特徵值對應的特徵向量必定正交；
：對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
③一定有個線性無關的特徵向量.
若有重特徵值,該特徵值的代數重數=；
④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經正交變換化為標準形；
⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經可逆線性變換化為標準形；
⑥兩個實對稱矩陣相似有相同的特徵值.
√為正交矩陣的個行（列）向量構成的一組標準正交基.
√ 正交矩陣的性質：①；
②；③ 正交陣的行列式等於1或-1；
④是正交陣,則，也是正交陣；
⑤ 兩個正交陣之積仍是正交陣；
⑥的行（列）向量都是單位正交向量組.
[, , , ] 二次型的規範形中正項項數 二次型的規範形中負項項數
[, ] (為二次型的秩)
√ 兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數他們的秩與正慣性指數分別相等.
√ 兩個矩陣合同的充分條件是：
√ 兩個矩陣合同的必要條件是：
√經過化為.
√ 二次型的標準形不是唯一的,與所作的正交變換有關,但非零係數的個數是由唯一確定的.
√ 當標準形中的係數為-1或0或1時,稱為二次型的 .
√ 實對稱矩陣的正（負）慣性指數等於它的正（負）特徵值的個數.
√任一實對稱矩陣與唯一對角陣合同.
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