二、選擇題
1.(1987—ⅰ,ⅱ)設為階方陣,且的行列式,而是的伴隨矩陣,則等於（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】伴隨矩陣的性質.
解 .
3.(1988—ⅰ,ⅱ)維向量組線性無關的充分必要條件是（ ）
(a) 存在一組不全為零的數,使.
(b)中任意兩個向量都線性無關.
(c)中存在乙個向量,它不能用其餘向量線性表出.
(d)中任意乙個向量都不能用其餘向量線性表出.
【考點】向量組線性相關的性質.
解 「向量組線性相關的充分必要條件是至少有乙個向量可由其餘向量線性表示」的逆否命題是(d).
對(a):「存在」改為「任意」就正確.
對(b):如中任意兩個向量都線性無關,但線性相關.
對(c):中不能由線性表示,但線性相關.
4.(1989—ⅰ,ⅱ,ⅳ,ⅴ)設是階方陣,且的行列式,則中（ ）
(a)必有一列元素全為零b)必有兩列元素對應成比例.
(c)必有一列向量是其餘列向量的線性組合. (d)任一列向量是其餘列向量的線性組合.
【考點】向量組線性相關的判別定理.
解的列(或行)秩的列(或行)向量組線性相關.選(c).
5.(1989—ⅳ)設和均為矩陣,則必有（ ）
(ab).
(cd).
【考點】矩陣的性質.
解 .選(c).
6.(1989—ⅴ)設元齊次線性方程組的係數矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】齊次線性方程組解的理論.
解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是.選(b).
7.(1990—ⅰ,ⅱ)已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解,是對應齊次線性方程組的基礎解系,為任意常數,則方程組的通解（一般解）必是（ ）
(a). (b).
(c). (d).
【考點】非齊次線性方程組解的結構.
解線性無關且為對應齊次線性方程組的解,故是對應齊次線性方程組的基礎解系;又,故為的乙個特解;由非齊次線性方程組解的結構,知選(b).
對(a):為的解.
對(c):為的解,且為的解.
對(d):不一定線性無關.
8.(1990—ⅳ,ⅴ)向量組線性無關的充分條件是（ ）
(a)均不為零向量.
(b)任意兩個向量的分量不成比例.
(c)中任意乙個向量均不能由其餘個向量線性表示.
(d)中有一部分向量線性無關.
【考點】向量組線性無關的性質.
解向量組線性無關的充分必要條件是中任意乙個向量均不能由其餘個向量線性表示.選(c).
對(a):如均不為零向量,但線性相關.
對(b):如中任意兩個向量的分量不成比例,但線性相關.
對(d):如中線性無關.
9.(1990—ⅴ)設是階可逆矩陣,是的伴隨矩陣,則（ ）
(a). (b). (c). (d).
參考1.(1987—ⅰ,ⅱ). 選(a).
10.(1991—ⅰ,ⅱ)設階方陣滿足關係式,其中是階單位陣,則必有（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】可逆矩陣的判別定理之推論.
解由知是的逆矩陣.選(d).
11.(1991—ⅳ)設為階可逆矩陣,是的乙個特徵值,則的伴隨矩陣的特徵值之一是（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】特徵值的性質.
解選(b)..
12.(1991—ⅴ)設為階方陣,滿足等式,則必有（ ）
(a)或. (b). (c)或. (d).
【考點】矩陣的性質.
解選(c)..
13.(1991—ⅴ)設是矩陣,是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組,則下列結論正確的是（ ）
(a)若僅有零解,則有唯一解.
(b)若有非零解,則有無窮多個解.
(c)若有無窮多個解,則僅有零解.
(d)若有無窮多個解,則有非零解.
【考點】非齊次線性方程組解的理論.
解選(d).有無窮多個解有非零解.
對(a):如僅有零解,但無解.
對(b):如有非零解,但無解.
對(c):有無窮多個解,則有非零解.
14.(1992—ⅰ,ⅱ)要使都是線性方程組的解,只要係數矩陣為（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】齊次線性方程組解向量的定義.
解選(a).
【注意】只需驗證.
15.(1992—ⅳ)設為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充分條件是（ ）
(a)的列向量線性無關. (b)的列向量線性相關.
(c)的行向量線性無關. (d)的行向量線性相關.
【考點】齊次線性方程組解的理論,矩陣的秩及向量組的線性相關性.
解僅有零解的列秩的列向量線性無關.選(a).
17.(1992—ⅴ)設均為維向量,那麼,下列結論正確的是（ ）
(a)若，則線性相關.
(b)若對任意一組不全為零的數,都有,則線性無關.
(c)若線性相關,則對任意一組不全為零的數,都有
. (d)若,則線性無關.
【考點】向量組線性相(無)關的定義.
解選(b).由線性相關定義的逆否命題可得.
18.(1993—ⅰ,ⅱ)已知為3階非零矩陣,且滿足,則（ ）
(a)時的秩必為1. (b)時的秩必為2.
(c)時的秩必為1. (d)時的秩必為2.
【考點】矩陣的秩及其性質.
解 .
當時, 1或2,則(a)和(b)都錯;
當時,.選(c).
【注】(1).
(2),則的列向量組為的解向量.
19.(1993—ⅳ)階方陣具有個不同的特徵值是與對角陣相似的（ ）
(a)充分必要條件b)充分而非必要條件.
(c)必要而非充分條件. (d)既非充分也非必要條件.
【考點】矩陣能對角化的判別定理(充分條件).
解選(b).
20.(1993—ⅴ)若都是四維列向量,且4階行列式,
,則4階行列式等於（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】矩陣的運算及行列式的性質.
解選(c).
.21.(1993—ⅴ)設是非奇異矩陣的乙個特徵值,則矩陣有一特徵值等於（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】特徵值的性質.
解有一特徵值,則有一特徵值.選(b).
22.(1994—ⅰ,ⅱ)已知向量組線性無關,則向量組（ ）
(a)線性無關.
(b)線性無關.
(c)線性無關.
(d)線性無關.
【考點】判別向量組線性相(無)關的方法.
解對(a):
,則線性相關.
對(b):
,則線性相關.
對(d):
,則線性相關.
故選(c).
或對(a):
,,所以,則線性相關.
同理可討論(b),(c),(d).
【注意】判別向量組線性相(無)關的常見方法如下.
(1)用定義:一般對抽象的向量組.理論根據:
維向量組線性相(無)關齊次線性方程組有非零解(只有零解).
(2)用向量組的秩:對具體的向量組直接求秩;對抽象的向量組用矩陣的秩的性質推導出來.理論根據:
向量組線性相(無)關.
(3)用相關理論推導.
(4)特殊情形:
若向量組可由線性表示,且線性無關時,設
,則向量組線性相(無)關.
23.(1994—ⅳ)設是矩陣,是階可逆矩陣,矩陣的秩為,矩陣的秩為,則( )
(a). (b). (c). (d)與的關係依而定.
【考點】矩陣秩的性質.
解 .選(c).
【注】設為可逆矩陣,則.
24.(1994—ⅴ)設都是階非零矩陣,且,則和的秩( )
(a)必有乙個等於零. (b)都小於. (c)乙個小於,乙個等於. (d)都等於.
【考點】矩陣秩的性質.
解 ;又,則
選(b).
25.(1994—ⅴ)設有向量組
,則該向量組的最大線性無關組是( )
(a). (b). (c). (d).
【考點】具體向量組的最大線性無關組的求法.
解 ,
則向量組的最大線性無關組是.選(b).
【注意】
(1)初等行變換保持矩陣的行向量組等價,保持矩陣的列向量組的線性相關性不變;
(2)初等列變換保持矩陣的列向量組等價,保持矩陣的行向量組的線性相關性不變.
26.(1995—ⅰ,ⅱ)設
則必有（ ）
(a). (b). (c). (d).
【考點】初等變換與初等矩陣的關係.
解可將的第一行加到第三行,再將的第一行與第二行交換得到.故選(c).
【注】在矩陣的左(右)邊乘以乙個初等矩陣,相當於對矩陣作相應的初等行(列)變換.
27.(1995—ⅳ,ⅴ)設矩陣的秩為為階單位矩陣,下述結論中正確的是( )
(a)的任意個列向量必線性無關.
(b)的任意乙個階子式不等於零.
(c)若矩陣滿足,則.
(d)通過初等行變換,必可以化為的形式.
【考點】向量組線性無關的判別,矩陣秩的定義及矩陣的行階梯形和標準形.
解選(c)..由,則齊次線性方程組只有零解,即的列向量全為零,故.
28.(1995—ⅴ)設維行向量,矩陣,其中為階單位矩陣,則等於( )
(a)0. (b). (c). (d).
【考點】矩陣的運算.
解選(c).
29.(1996—ⅰ,ⅱ)四階行列式的值等於（ ）
(ab).
(c). (d).
【考點】行列式的計算.
解選(d).將行列式按第一行展開.
2.(1988—ⅰ,ⅱ)設矩陣,其中均為4維列向量,且已知行列式,則行列式 .
【考點】分塊矩陣的運算和行列式的性質.
解 .
【注意】.
3.(1988
【考點】行列式的計算.
方法一:.
方法二:.
4.(1988
【考點】求逆矩陣.
解方法一:,所以
.方法二:利用分塊矩陣求逆公式得到.
【注】.
5.(1989—ⅰ,ⅱ)設矩陣,則逆矩陣 .
【考點】分塊矩陣求逆.
解 .
【注】(1);
8.(1990—ⅰ,ⅱ)已知向量組
,則該向量組的秩是 .
【考點】向量組秩的計算.
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