廈門大學網路教育2013-2014學年第一學期
線性代數》複習題
1、單項選擇題
1.行列式=( ).
a. b. c. d.
2.矩陣的秩為( ).
a.0 b.1 c.2 d. 3
3.若是階可逆矩陣，則必與相同特徵值的矩陣是( ).
a. b. c. d.
4.已知方程組有唯一解，則( ).
a.1b.-1 c.0 d.
5.設均為階矩陣，且，則必有( ).
a. b. c. d.
6.若矩陣的特徵多項式，則( ).
a.-16 b.-4 c.4 d.16
7.向量是中的正交向量組，則的值分別為( ).
a.-2,-1 b.2,-1 c.2,1 d.-2,1
8.設為正交矩陣，則必有( ).
a. b. c. d
9.下列命題錯誤的是( ).
a.若向量組線性相關，則可由線性表示.
b.若為實對稱矩陣，為正交矩陣，則也是實對稱矩陣.
c.矩陣相似，則的特徵多項式相等
d.實數域上的任意乙個二次型都可以經過正交替換化為標準形.
10.為n階實矩陣，則下列結論正確的是( ).
a.一定相似於對角矩陣；
b.屬於的不同特徵值的特徵向量正交；
c.一定不相似於對角矩陣；
d.存在正交矩陣，使為對角矩陣.
2、填空題
11.已知3元齊次線性方程組有非零解，則
12.若，則二階矩陣的逆矩陣
13.若方陣滿足，則可逆，且
14.設為4階矩陣，，則
15.為階正交矩陣，則
16.齊次線性方程組的基礎解系所含向量的個數是
17.設矩陣，已知是它的乙個特徵向量，則所對應的特徵值為
18.已知是矩陣的特徵向量，則
19.若二階矩陣，是的兩個特徵值，則
20.給定對稱矩陣，則相應的二次型
三、計算題
21.行列式計算：
求行列式，其中表示階行列式，.說明：若記的第行第列元素為，則，第一行除了外其餘元素均為2，第一列除了外其餘元素均為2，所有其餘元素都是0.
22.向量組計算：
判定向量組是否線性相關，若線性相關，求出乙個可由其餘向量組線性表示的向量，並寫出表示式.
23.求解矩陣方程：
設矩陣滿足，其中，求矩陣.
24.線性方程組計算：
取何值時，非齊次線性方程組，有唯一解?有無窮多解?在有解的情況下，求出相應的解.
25.求向量組
的秩與乙個極大線性無關組，並將其餘向量用此極大線性無關組線性表示.
26..求過渡矩陣與座標：
設中的兩組基：
和求：（1）基到基的過渡矩陣；
（2）向量在兩組基下的座標.
27.設二次型
經過正交變換化成，其中，是3階矩陣，求常數及所用的正交變換矩陣.
答案1、單項選擇題
b. a
解：注意到行列式各行元素之和為，把第2、3、4列都加到第1列，然後再從第1列提取公因式，最後再讓第一行後的每一行都減去第一行，有：
解故矩陣a的秩為2.
解：若為的乙個特徵值，，則是矩陣的特徵值.則是的特徵值，是的特徵值，由於，故是的特徵值.因為為的乙個特徵值，故=0，所以有，即為的特徵值.
解：根據克萊姆法則知，當方程組的係數行列式時，即時，方程組有唯一解.
解：，則兩邊取行列式有：，即.對於abd,例如，則知abd是錯誤的.
解：由於，從而的所有特徵值為，故.
解：正交，故即，解得有.
解：因為為正交矩陣，故，則，所以，故正交矩陣時是可逆的，對兩邊右乘有.綜上所述只有c是正確的.
解：a錯，反例：取向量，則向量組線性相關，因它含有零向量，但並不能由線性表示.
b對，因為為實對稱矩陣，為正交矩陣，則，可得，所以是實對稱矩陣；
c對，因為相似，則存在可逆矩陣，使得成立，所以
即的特徵多項式相等；
d對，可參加定理6.4
綜上所述只有a是錯誤的.
解：a.矩陣不一定是實對稱矩陣，只有實對稱矩陣才一定相似於對角矩陣.反例：課本179頁的例5中，就不相似於對角陣；
b.屬於不同特徵值的特徵向量使線性無關的，不一定是正交的，例：課本178頁的例3，矩陣的的特徵值相應的特徵向量分別為就不是正交的.
c.若矩陣為實對稱陣時，則一定相似於對角陣（見定理5.9）
d.由於，其中，故為實對稱矩陣，根據定理5.9知，命題d是正確的.
由以上分析知，只有d是對的.
二、填空題
11..
解：有非零解，知其係數矩陣行列式為0，即
即.12..
解：，知，，則.
13.解： 14.
解：故15.1
解：由於為正交矩陣，則兩邊去行列式有，則.
16.2
解：齊次線性方程組的基礎解系所含向量個數等於方程組未知數的個數減去係數矩陣的秩，根據題意未知數的個數是4，係數矩陣的秩為2，故所求答案為2.
17.-2
解：根據題意知：，即知所對應的特徵值為-2.
18.2
解：設對應的特徵值為，則根據題意知：
，所以.
19.解：由於，故.
20.對應的二次型為：
三、計算題
21.行列式計算：
解：通過把的第一行中除外其他元素均變成為零，化為下三角行列式，具體如下：
，其中，於是，.
22向量組計算（12分）：
解：數使設有得，即由此得到以為未知量的齊次線性方程組：
，其係數矩陣，
因，方程有非零解，故向量組線性相關，並得方程組，
任取一組非零解於是有，可由線性表示.
23.求解矩陣方程（10分）：
解：由，得，下面用初等變換求所要求的結果：
知=.24.線性方程組計算：
解：對方程組的增廣矩陣做初等變換，有
，由此可知：
2.當時，方程組有唯一解；
3.當時，方程組有無窮多解，增廣矩陣可化為：
,原方程組可化為，取，得原方程組的乙個特解為.
對應的齊次線性方程組可化為，取，得到乙個基礎解系.
故原方程組的通解為，其中為任意常數.
25.解：以為列向量作矩陣，並對其施以初等行變換：
由此知，向量組的秩為2，其中是乙個極大線性無關組.向量可由此極大線性無關組線性表示為
26.求過渡矩陣與座標：
解：（1）設基到基的過渡矩陣為，並記矩陣由得.
對矩陣施以初等行變換
故基到基的過渡矩陣為
=.2、設，由此可得線性方程組
解得，即向量在基下的座標為.
利用座標變換公式得
即向量在基下的座標為.
27.解：（1）二次型的矩陣，特徵方程為
，由標準形知，的特徵值為.將特徵值代入特徵方程得
(2)當時，，
當時，解線性方程組，得其基礎解系為；
當時，解線性方程組，得其基礎解系為.
當時，解線性方程組，得其基礎解系為
從而可得單位正交向量組
故所用正交變換矩陣
，則為正交矩陣，且.
線性代數複習題
二 選擇題 1.1987 設為階方陣,且的行列式,而是的伴隨矩陣,則等於 a b c d 考點 伴隨矩陣的性質.解 3.1988 維向量組線性無關的充分必要條件是 a 存在一組不全為零的數,使.b 中任意兩個向量都線性無關.c 中存在乙個向量,它不能用其餘向量線性表出.d 中任意乙個向量都不能用其餘...
線性代數複習題
1 設，則 2 設，則 3 1 已知四階行列式中第一行元素依次為它們的代數余子式依次分別為則 2 已知四階行列式中第一行元素依次為它們的余子式依次分別為則4 已知，則 5 設行列式，則 6 齊次線性方程組的解空間的維數為 7 設為4階方陣，將的第1列乘以3後，得到矩陣b，且，則8 若線性相關，則 9...
線性代數期末複習題
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