習題5. 1
1． 判斷全體n階實對稱矩陣按矩陣的加法與數乘是否構成實數域上的線性空間．
答是．因為是通常意義的矩陣加法與數乘, 所以只需檢驗集合對加法與數乘運算的封閉性.
由n階實對稱矩陣的性質知，n階實對稱矩陣加n階實對稱矩陣仍然是n階實對稱矩陣，數乘n階實對稱矩陣仍然是n階實對稱矩陣, 所以集合對矩陣加法與數乘運算封閉, 構成實數域上的線性空間.
2．全體正實數r+, 其加法與數乘定義為
判斷r+按上面定義的加法與數乘是否構成實數域上的線性空間.
答是. 設.
因為,,
所以對定義的加法與數乘運算封閉.
下面一一驗證八條線性運算規律
(1) ;
(2) ;
(3) 中存在零元素1, , 有;
(4)對中任一元素，存在負元素,使;
(56) ;
(7) ;
所以r+對定義的加法與數乘構成實數域上的線性空間.
3. 全體實n階矩陣，其加法定義為
按上述加法與通常矩陣的數乘是否構成實數域上的線性空間.
答否..
故定義的加法不滿足加法的交換律即運算規則（１）,全體實n階矩陣按定義的加法與數乘不構成實數域上的線性空間.
4．在中，
答否., 也就是說集合對加法不封閉.
習題5.2
1．討論中
的線性相關性.
解設,即. 由係數行列式
知, 2．在中，求向量其中解設由
得. 故向量為 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).
解設則有.
由得.故向量為（-7，11，-21，30）.
4．已知的兩組基
（ⅰ）：
（ⅱ）：
（1） 求由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣；
（2） 已知向量；
（3） 已知向量;
（4） 求在兩組基下座標互為相反數的向量.
解（1）設c是由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣, 由c
即,知基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣為.
（2）首先計算得,
於是在基下的座標為.
（3）在基下的座標為.
(4) 設在基下的座標為, 據題意有,
解此方程組可得=.
.5．已知p[x]4的兩組基
（ⅰ）：
（ⅱ）：
（5） 求由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣；
（6） 求在兩組基下有相同座標的多項式f(x).
解( 1 ) 設c是由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣, 由c有..
（2）設多項式f(x)在基（ⅰ）下的座標為.
據題意有0（*）
因為所以方程組（*）只有零解，則f(x)在基（ⅰ）下的座標為，所以f(x) = 0
習題5.3
證明線性方程組
的解空間與實係數多項式空間同構.
證明設線性方程組為ax = 0, 對係數矩陣施以初等行變換.
.實係數多項式空間的維數也是3, 所以此線性方程組的解空間與實係數多項式空間同構.
習題5.4
1． 求向量的長度.
解.2． 求向量之間的距離.
解.3．求下列向量之間的夾角
（1）（2）
（3）解（1）.
（2）,
.（3）,
, ,
.3． 設為n維歐氏空間中的向量，證明: .
證明因為
所以, 從而.
習題5.5
1． 在中，求乙個單位向量使它與向量組正交.
解設向量,
則有（*）.
齊次線性方程組(*)的乙個解為.
取.2． 將的一組基化為標準正交基.
解 (1 )正交化, 取
,(2 ) 將單位化
則, ,為r3的一組基標準正交基.
3．求齊次線性方程組
的解空間的一組標準正交基.
分析因齊次線性方程組的乙個基礎解系就是其解空間的一組基，所以只需求出乙個基礎解系再將其標準正交化即可.
解對齊次線性方程組的係數矩陣施行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣
可得齊次線性方程組的乙個基礎解系
.由施密特正交化方法, 取
,將單位化得單位正交向量組
因為齊次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以, ,是解空間的一組標準正交基.
3． 設, ,…, 是n維實列向量空間中的一組標準正交基, a是n階正交矩陣,證明: , ,…, 也是中的一組標準正交基．
證明因為是n維實列向量空間中的一組標準正交基, 所以
.又因為a是n階正交矩陣, 所以.
則故也是中的一組標準正交基.
5．設是3維歐氏空間v的一組標準正交基, 證明
也是v的一組標準正交基.
證明由題知
, 構成v的一組標準正交基.
習題五(a)
一、填空題
1．當k滿足時，.
解三個三維向量為的一組基的充要條件是, 即.
2．由向量所生成的子空間的維數為.
解向量所生成的子空間的維數為向量組的秩, 故答案為1.
3．.解根據定義, 求解方程組就可得答案.
設所求座標為, 據題意有.
為了便於計算, 取下列增廣矩陣進行運算
，所以= (33,-82,154).
4. .
解因為, 所以過渡矩陣為.
5. 正交矩陣a的行列式為.
解.6．已知5元線性方程組ax= 0的係數矩陣的秩為3, 則該方程組的解空間的維數為 .
解5元線性方程組ax= 0的解集合的極大無關組（基礎解系）含5 – 3 =2 個向量,
故解空間的維數為2.
滿足 .
解四個四維向量不是的一組基的充要條件是, 則或1.
故答案為.
二、單項選擇題
1．下列向量集合按向量的加法與數乘不構成實數域上的線性空間的是( ).
（a）（b）
（c）(d)
解 (c ) 選項的集合對向量的加法不封閉,
故選（c）.
2. 生成的子空間的維數為（）.
(a) 1b) 2c) 3d) 4
解向量組a=生成的子空間的維數是向量組a的秩, 故選（a）.
解因 ( b )選項,
又因所以線性無關.
故選（b）.
解因, 所以( c )選項中向量組線性相關, 故選（c）.
5．n元齊次線性方程組ax = 0的係數矩陣的秩為r, 該方程組的解空間的維數為s, 則( ).
(a) s=r (b) s=n-r (c) s>r (d) s選（b）
6. 已知a, b為同階正交矩陣, 則下列( )是正交矩陣.
(a)a+b(b)a-b(c)ab (d)ka（k為數）
解a, b為同階正交矩陣故選（c）.
7. 線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣（）.
(a)一定不可逆(b)一定可逆(c)不一定可逆(d)是正交矩陣
選（b）
(b)1．已知的兩組基
（ⅰ）：
（ⅱ）：
( 1 )求由基（ⅱ）到（ⅰ）的過渡矩陣；
( 2 )求在兩組基下有相同座標的向量.
解（１）設c是由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣, 已知
, 所以由基（ⅱ）到基（ⅰ）的過渡矩陣為
.（2）設在兩組基下有相同座標的向量為, 又設在基（ⅰ）和基（ⅱ）下的座標均為, 由座標變換公式可得
, 即0 （*）
齊次線性方程（*）的乙個基礎解系為, 通解為．
故在基（ⅰ）和基（ⅱ）下有相同座標的全體向量為
.解 ( 1 ) 由題有
因，所以.
故是3個線性無關向量，構成.
(2 ) 因為
所以從為
(3)所以解 (1)因為c =, 所以所以.
(2 ) ,.
證明設,則有即
所以方程組（*）只有零解. 故線性無關, 構成.設則有
所以為（1, 2, 3）.
5．當a、b、c 為何值時，矩陣a =是正交陣.
解要使矩陣a為正交陣，應有
①；②；③；④.
6．設α是n維非零列向量, e為n階單位陣, 證明: 為正交矩陣.
證明因為α是n維非零列向量, 是非零實數.
又,所以故a為正交矩陣．
7．設, 其中, 若= 1. 證明a為正交陣.
證明因為，所以a為對稱陣.
又,所以a為正交陣.
證明因為所以
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