第一部分：基本要求（計算方面）
四階行列式的計算；
n階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；
矩陣的運算（包括加、減、數乘、乘法、轉置、逆等的混合運算）；
求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；
含引數的線性方程組解的情況的討論；
齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯
一、無窮多解）；
討論乙個向量能否用和向量組線性表示；
討論或證明向量組的相關性；
求向量組的極大無關組，並將多餘向量用極大無關組線性表示；
將無關組正交化、單位化；
求方陣的特徵值和特徵向量；
討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；
通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；
寫出二次型的矩陣，並將二次型標準化，寫出變換矩陣；
判定二次型或對稱矩陣的正定性。
第二部分：基本知識
一、行列式
1．行列式的定義
用n^2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和；
（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；
2．行列式的計算
一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對角線法則；
n階（n>=3）行列式的計算：降階法
定理：n階行列式的值等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。
方法：選取比較簡單的一行（列），保保留乙個非零元素，其餘元素化為0，利用定理展開降階。
特殊情況
上、下三角形行列式、對角形行列式的值等於主對角線上元素的乘積；
（2）行列式值為0的幾種情況：
ⅰ 行列式某行（列）元素全為0；
ⅱ 行列式某行（列）的對應元素相同；
ⅲ 行列式某行（列）的元素對應成比例；
ⅳ 奇數階的反對稱行列式。
二．矩陣
1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；
2．矩陣的運算
（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；
（2）關於乘法的幾個結論：
①矩陣乘法一般不滿**換律（若ab＝ba，稱a、b是可交換矩陣）；
②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；
③若a、b為同階方陣，則|ab|=|a|*|b|；
④|ka|=k^n|a|
3．矩陣的秩
（1）定義非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；
（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論：
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等於非零行的個數（每行的第乙個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。
求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。
4．逆矩陣
（1）定義：a、b為n階方陣，若ab＝ba＝i，稱a可逆，b是a的逆矩陣（滿足半邊也成立）；
（2）性質： (ab)^-1=(b^-1)*(a^-1)，(a')^-1=(a^-1)'；(a b的逆矩陣，***)（注意順序）
（3）可逆的條件：
① |a|≠0； ②r(a)=n; ③a->i;
（4）逆的求解
伴隨矩陣法 a^-1=(1/|a|)a*；(a* a的伴隨矩陣~)
②初等變換法（a:i）->(施行初等變換)（i:a^-1）
5．用逆矩陣求解矩陣方程：
ax=b，則x=（a^-1）b；
xb=a，則x=b(a^-1)；
axb=c，則x=(a^-1)c(b^-1)
三、線性方程組
1．線性方程組解的判定
定理：(1) r(a,b)≠r(a) 無解；
(2) r(a,b)=r(a)=n 有唯一解；
(3)r(a,b)=r(a)=3）行列式的計算：降階法
定理：n階行列式的值等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。
方法：選取比較簡單的一行（列），保保留乙個非零元素，其餘元素化為0，利用定理展開降階。
特殊情況
上、下三角形行列式、對角形行列式的值等於主對角線上元素的乘積；
（2）行列式值為0的幾種情況：
ⅰ 行列式某行（列）元素全為0；
ⅱ 行列式某行（列）的對應元素相同；
ⅲ 行列式某行（列）的元素對應成比例；
ⅳ 奇數階的反對稱行列式。
二．矩陣
1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；
2．矩陣的運算
（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；
（2）關於乘法的幾個結論：
①矩陣乘法一般不滿**換律（若ab＝ba，稱a、b是可交換矩陣）；
②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；
③若a、b為同階方陣，則|ab|=|a|*|b|；
④|ka|=k^n|a|
3．矩陣的秩
（1）定義非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；
（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論：
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等於非零行的個數（每行的第乙個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。
求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。
4．逆矩陣
（1）定義：a、b為n階方陣，若ab＝ba＝i，稱a可逆，b是a的逆矩陣（滿足半邊也成立）；
（2）性質： (ab)^-1=(b^-1)*(a^-1)，(a')^-1=(a^-1)'；(a b的逆矩陣，***)（注意順序）
（3）可逆的條件：
① |a|≠0； ②r(a)=n; ③a->i;
（4）逆的求解
伴隨矩陣法 a^-1=(1/|a|)a*；(a* a的伴隨矩陣~)
②初等變換法（a:i）->(施行初等變換)（i:a^-1）
5．用逆矩陣求解矩陣方程：
ax=b，則x=（a^-1）b；
xb=a，則x=b(a^-1)；
axb=c，則x=(a^-1)c(b^-1)
三、線性方程組
1．線性方程組解的判定
定理：(1) r(a,b)≠r(a) 無解；
(2) r(a,b)=r(a)=n 有唯一解；
(3)r(a,b)=r(a) 特別地：對齊次線性方程組ax=0 (1) r(a)=n 只有零解； (2) r(a) 再特別，若為方陣， (1)|a|≠0 只有零解 (2)|a|=0 有非零解 2．齊次線性方程組 （1）解的情況： r(a)=n，（或係數行列式d≠0）只有零解； r(a) （2）解的結構： x=c1α1+c2α2+…+cn-rαn-r。 （3）求解的方法和步驟： ①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣； ②寫出對應同解方程組； ③移項，利用自由未知數表示所有未知數； ④表示出基礎解系； ⑤寫出通解。 3．非齊次線性方程組 （1）解的情況： 利用判定定理。 （2）解的結構： x=u+c1α1+c2α2+…+cn-rαn-r。 （3）無窮多組解的求解方法和步驟： 與齊次線性方程組相同。 （4）唯一解的解法： 有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。 四、向量組 1．n維向量的定義 注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。 2．向量的運算： （1）加減、數乘運算（與矩陣運算相同）； （2）向量內積 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn； （3）向量長度 a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根號) （4）向量單位化 (1/|α|)α； （5）向量組的正交化（施密特方法） 設α1，α 2，…，αn線性無關，則 β1=α1， β2=α2-（α2』β1/β1』β）*β1， β3=α3-（α3』β1/β1』β1）*β1-（α3』β2/β2』β2）*β2，………。 3．線性組合 （1）定義若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，則稱β是向量組α1，α 2，…，αn的乙個線性組合，或稱β可以用向量組α1，α 2，…，αn的乙個線性表示。 （2）判別方法將向量組合成矩陣，記 a＝(α1，α 2，…，αn)，b=(α1，α2，…，αn,β) 若 r (a)=r (b)，則β可以用向量組α1，α 2，…，αn的乙個線性表示； 若 r (a)≠r (b)，則β不可以用向量組α1，α 2，…，αn的乙個線性表示。 （3）求線性表示表示式的方法： 將矩陣b施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最後一列元素就是表示的係數。 4．向量組的線性相關性 （1）線性相關與線性無關的定義 設 k1α1+k2α2+…+knαn=0， 若k1,k2,…，kn不全為0，稱線性相關； 若k1,k2,…，kn全為0，稱線性無關。 （2）判別方法： ① r(α1，α 2，…，αn) r(α1，α 2，…，αn)=n，線性無關。 ②若有n個n維向量，可用行列式判別： n階行列式aij＝0，線性相關（≠0無關） (行列式太不好打了) 5．極大無關組與向量組的秩 （1）定義極大無關組所含向量個數稱為向量組的秩 （2）求法設a＝(α1，α 2，…，αn)，將a化為階梯陣，則a的秩即為向量組的秩，而每行的第乙個非零元所在列的向量就構成了極大無關組。 五、矩陣的特徵值和特徵向量 1．定義對方陣a，若存在非零向量x和數λ使ax＝λx，則稱λ是矩陣a的特徵值，向量x稱為矩陣a的對應於特徵值λ的特徵向量。 2．特徵值和特徵向量的求解： 求出特徵方程|λi-a|=0的根即為特徵值，將特徵值λ代入對應齊次線性方程組(λi-a)x＝0中求出方程組的所有非零解即為特徵向量。 3．重要結論： （1）a可逆的充要條件是a的特徵值不等於0； （2）a與a的轉置矩陣a'有相同的特徵值； （3）不同特徵值對應的特徵向量線性無關。 六、矩陣的相似 1．定義對同階方陣a、b，若存在可逆矩陣p，使p^-1ap=b，則稱a與b相似。 2．求a與對角矩陣∧相似的方法與步驟（求p和∧）： 求出所有特徵值； 求出所有特徵向量； 若所得線性無關特徵向量個數與矩陣階數相同，則a可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關特徵向量組成矩陣即為相似變換的矩陣p，依次將對應特徵值構成對角陣即為∧。 3．求通過正交變換q與實對稱矩陣a相似的對角陣： 方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特徵向量正交化且單位化。 七、二次型 n1．定義 n元二次多項式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj稱為二次型,若aij=0(i≠j)，則稱為二交型的標準型。 i,j=1 2．二次型標準化： 配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由於對正交矩陣q，q^-1=q'，即正交變換既是相似變換又是合同變換。 3．二次型或對稱矩陣的正定性： （1）定義（略）； （2）正定的充要條件： ①a為正定的充要條件是a的所有特徵值都大於0； ②a為正定的充要條件是a的所有順序主子式都大於0； 一 填空題 1 設a為三階方陣且，則 108 23 若方程組有非零解，則常數 1 4 設，且與線性相關，則常數 1 5 中第1行第二列元素的代數余子式 12 6 商量組 1,2 3,4 4,6 的秩為 2 7 設矩陣,則的特徵值為 1,1 2 8 若矩陣a可逆，且，則x b 2 9 若向量與正交，則... 行列式 1.計算行列式的值 1 2 3 矩陣 1.設，求 p47 8題 2.判斷以下矩陣是否可逆，若可逆，求其逆。1 p53 3 p70 2 2 2 p52，例2 4 3.已知三階方陣a的行列式為1 2，求出行列式的值 p54 8題 4.已知n階方陣a的行列式為6，求出行列式的值.p54 7題 5.... 線性代數複習資料 一 填空題 1.設，則 2 設則ab 3 設是四階方陣a的伴隨矩陣，若，則 4 5 已知三階方陣的行列式，則 6 個維向量的向量組，當時，必線性關.7 矩陣的逆矩陣 8 設，則的秩 9 設，若的秩為，則 10 方程的根 11 設是a的伴隨矩陣，則 12 設三階矩陣的特徵值為1，1，...線性代數複習
線性代數複習
線性代數複習試題