函式的單調性與奇偶性(一)
函式的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫**生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函式與奇偶函式的圖象.
●難點磁場
(★★★★)設a>0,f(x)=是r上的偶函式，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函式.
●案例**
［例1］已知函式f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0(1)f(x)為奇函式；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.
命題意圖：本題主要考查函式的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.
知識依託：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.
錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果「賦值」不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.
技巧與方法：對於(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對於(2)，判定的範圍是焦點.
證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函式.
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上為減函式，又f(x)為奇函式且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上為減函式.
［例2］設函式f(x)是定義在r上的偶函式，並在區間(－∞,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)命題意圖：本題主要考查函式奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函式單調性的判定方法.本題屬於★★★★★級題目.
知識依託：逆向認識奇偶性、單調性、指數函式的單調性及函式的值域問題.
錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函式判定程式紊亂.
技巧與方法：本題屬於知識組合題類，關鍵在於讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.
解：設0∴f(－x2)∴f(x2)由f(2a2+a+1)3a2－2a+1.解之，得0又a2－3a+1=(a－)2－.
∴函式y=()的單調減區間是［，+∞］
結合0●錦囊妙計
本難點所涉及的問題及解決方法主要有：
(1)判斷函式的奇偶性與單調性
若為具體函式，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.
若為抽象函式，在依託定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.
同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的「磁場」及「訓練」認真體會，用好數與形的統一.
復合函式的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在於：既把握復合過程，又掌握基本函式.
(2)加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目，下一節我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)下列函式中的奇函式是( )
2.(★★★★★)函式f(x)=的圖象( )
a.關於x軸對稱b.關於y軸對稱
c.關於原點對稱d.關於直線x=1對稱
二、填空題
3.(★★★★)函式f(x)在r上為增函式，則y=f(|x+1|)的乙個單調遞減區間是
4.(★★★★★)若函式f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0三、解答題
5.(★★★★)已知函式f(x)=ax+ (a>1).
(1)證明：函式f(x)在(－1，+∞)上為增函式.
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.
6.(★★★★★)求證函式f(x)=在區間(1，+∞)上是減函式.
7.(★★★★)設函式f(x)的定義域關於原點對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證：
(1)f(x)是奇函式.
(2)f(x)是週期函式，且有乙個週期是4a.
8.(★★★★★)已知函式f(x)的定義域為r，且對m、n∈r,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且
f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.
(1)求證：f(x)是單調遞增函式；
(2)試舉出具有這種性質的乙個函式，並加以驗證.
參***
難點磁場
(1)解：依題意，對一切x∈r,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)
(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1
(2)證法一：設0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)=
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函式
證法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0.
此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函式.
殲滅難點訓練
一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)為奇函式.
答案：c
2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函式，圖象關於原點對稱.
答案：c
二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在r上單調遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.
答案：(－∞,－1
4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
三、5.證明：(1）設－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且》0,
∴>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴>0,
於是f(x2)－f(x1)=+ >0
∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函式.
(2）證法一：設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.
證法二：設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則》0, >0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.
6.證明：∵x≠0,∴f(x)=,
設1＜x1＜x2＜+∞,則.
∴f(x1)>f(x2), 故函式f(x)在(1，+∞）上是減函式.(本題也可用求導方法解決）
7.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函式.
(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為週期的週期函式.
8.(1）證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
∴f(x)是單調遞增函式.
(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.
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