難點11 函式中的綜合問題
函式綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣.本節課主要幫**生在掌握有關函式知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，並培養考生的思維和創新能力.
●難點磁場
(★★★★★)設函式f(x)的定義域為r，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求證：f(x)為奇函式；
(2)在區間［－9，9］上，求f(x)的最值.
●案例**
［例1］設f(x)是定義在r上的偶函式，其圖象關於直線x=1對稱，對任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f()、f();
(2)證明f(x)是週期函式；
(3)記an=f(n+),求
命題意圖：本題主要考查函式概念，圖象函式的奇偶性和週期性以及數列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力.
知識依託：認真分析處理好各知識的相互聯絡，抓住條件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到問題的突破口.
錯解分析：不會利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進行合理變形.
技巧與方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關鍵.
(1) 解：因為對x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=≥0,
x∈［0,1］
又因為f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2
f()=f(+)=f()·f()=［f（）］2
又f(1)=a>0
∴f()=a,f()=a
(2)證明：依題意設y=f(x)關於直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈r.
又由f(x)是偶函式知f(－x)=f(x),x∈r
∴f(－x)=f(2－x),x∈r.
將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是r上的週期函式，且2是它的乙個
週期.(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f()=f(n·)=f(+(n－1))=f()·f((n－1)·)
=……=f()·f()·……·f()
=［f()］n=a
∴f()=a.
又∵f(x)的乙個週期是2
∴f(2n+)=f(),因此an=a
∴［例2］甲、乙兩地相距s千公尺，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千公尺/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例係數為b,固定部分為a元.
(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函式，並指出這個函式的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
命題意圖：本題考查建立函式的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數學知識解決實際問題的能力.
知識依託：運用建模、函式、數形結合、分類討論等思想方法.
錯解分析：不會將實際問題抽象轉化為具體的函式問題，易忽略對參變數的限制條件.
技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價.
解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv)
∴所求函式及其定義域為y=s(+bv),v∈(0,c.
(2)依題意知，s、a、b、v均為正數
∴s(+bv)≥2s
當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立.若≤c則當v=時，有ymin；
若》c,則當v∈(0,c時，有s(+bv)－s(+bc)
=s［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且c>bc2,∴a－bcv≥a－bc2>0
∴s(+bv)≥s(+bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有ymin；
綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應為v=,當》c時行駛速度應為v=c.
解法二：(1)同解法一.
(2)∵函式y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當x∈(0,)時，y單調減小，當x∈(,+∞)時y單調增加，當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函式為y=sb(v+),v∈(0,c.
∴當≤c時，則當v=時，y最小，若》c時，則當v=c時，y最小.結論同上.
●錦囊妙計
在解決函式綜合問題時，要認真分析、處理好各種關係，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數形結合等思想的綜合運用.綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能.因此，必須全面掌握有關的函式知識，並且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)函式y=x+a與y=logax的圖象可能是( )
2.(★★★★★)定義在區間(－∞,+∞)的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在區間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a>b>0,給出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)其中成立的是( )
a.①與b.②與c.①與d.②與④
二、填空題
3.(★★★★)若關於x的方程22x+2xa+a+1=0有實根，則實數a的取值範圍是
三、解答題
4.(★★★★)設a為實數，函式f(x)=x2+|x－a|+1,x∈r.
(1)討論f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值.
5.(★★★★★)設f(x)=.
(1)證明：f(x)在其定義域上的單調性；
(2)證明：方程f-1(x)=0有惟一解；
(3)解不等式f［x(x－)］<.
6.(★★★★★)定義在(－1，1)上的函式f(x)滿足①對任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②當x∈(－1,0)時，有f(x)>0.
求證：.
7.(★★★★★)某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方公尺的**汙水處理池，由於地形限制，長、寬都不能超過16公尺，如果池外周壁建造單價為每公尺400元，中間兩條隔牆建造單價為每公尺248元，池底建造單價為每平方公尺80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋).
(1)寫出總造價y(元)與汙水處理池長x(公尺)的函式關係式，並指出其定義域.
(2)求汙水處理池的長和寬各為多少時，汙水處理池的總造價最低？並求最低總造價.
8.(★★★★★)已知函式f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定義，且在(0,+∞)上是增函式，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,設m=,n=,求m∩n.
［學法指導］怎樣學好函式
學習函式要重點解決好四個問題：準確深刻地理解函式的有關概念；揭示並認識函式與其他數學知識的內在聯絡；把握數形結合的特徵和方法；認識函式思想的實質，強化應用意識.
(一)準確、深刻理解函式的有關概念
概念是數學的基礎，而函式是數學中最主要的概念之一，函式概念貫穿在中學代數的始終.數、式、方程、函式、排列組合、數列極限等是以函式為中心的代數.近十年來，高考試題中始終貫穿著函式及其性質這條主線.
(二)揭示並認識函式與其他數學知識的內在聯絡.函式是研究變數及相互聯絡的數學概念，是變數數學的基礎，利用函式觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數列、曲線與方程等內容.在利用函式和方程的思想進行思維中，動與靜、變數與常量如此生動的辯證統一，函式思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式.
所謂函式觀點，實質是將問題放到動態背景上去加以考慮.高考試題涉及5個方面：(1)原始意義上的函式問題；(2)方程、不等式作為函式性質解決；(3)數列作為特殊的函式成為高考熱點；(4)輔助函式法；(5)集合與對映，作為基本語言和工具出現在試題中.
(三)把握數形結合的特徵和方法
函式圖象的幾何特徵與函式性質的數量特徵緊密結合，有效地揭示了各類函式和定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性等基本屬性，體現了數形結合的特徵與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪製圖形，又要熟練地掌握函式圖象的平移變換、對稱變換.
(四)認識函式思想的實質，強化應用意識
函式思想的實質就是用聯絡與變化的觀點提出數學物件，抽象數量特徵，建立函式關係，求得問題的解決.縱觀近幾年高考題，考查函式思想方法尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函式思想實質，強化應用意識.
參***
難點磁場
(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0
令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函式
(2）解：1°,任取實數x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,這時，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)
因為x>0時f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)在［－9，9］上是減函式
故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.
∴f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.
殲滅難點訓練
一、1.解析：分類討論當a>1時和當0＜a＜1時.
答案：c
2.解析：用特值法，根據題意，可設f(x)=x,g(x)=|x|,又設a=2,b=1,
則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.
g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.
又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.
高考數學難點突破 難點 函式中的綜合問題
難點函式中的綜合問題 函式綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣.本節課主要幫 生在掌握有關函式知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，並培養考生的思維和創新能力.難點磁場 設函式f x 的定義域為r，對任意實數x y都有f x y f...
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