難點19 解不等式
不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數學的重要工具，所以不等式是高考數學命題的重點，解不等式的應用非常廣泛，如求函式的定義域、值域，求引數的取值範圍等，高考試題中對於解不等式要求較高，往往與函式概念，特別是二次函式、指數函式、對數函式等有關概念和性質密切聯絡，應重視；從歷年高考題目看，關於解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式.
●難點磁場
(★★★★)解關於x的不等式＞1(a≠1).
●案例**
［例1］已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函式，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0.
(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函式；
(2)解不等式：f(x+)＜f()；
(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恆成立，求實數t的取值範圍.
命題意圖：本題是一道函式與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力，屬★★★★★級題目.
知識依託：本題主要涉及函式的單調性與奇偶性，而單調性貫穿始終，把所求問題分解轉化，是函式中的熱點問題；問題的要求的都是變數的取值範圍，不等式的思想起到了關鍵作用.
錯解分析：(2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+∈［－1，1］，∈［－1，1］必不可少，這恰好是容易忽略的地方.
技巧與方法：(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成「1」是點睛之筆.
(1)證明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函式.
(2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函式，
∴ 解得：
(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函式，且f(1)=1，故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恆成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，記g(a)=t2－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大於等於0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值範圍是：.
［例2］設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為m，如果m［1，4］，求實數a的取值
範圍.命題意圖：考查二次不等式的解與係數的關係及集合與集合之間的關係，屬★★★★級題目.
知識依託：本題主要涉及一元二次不等式根與係數的關係及集合與集合之間的關係，以及分類討論的數學思想.
錯解分析：m=是符合題設條件的情況之一，出發點是集合之間的關係考慮是否全面，易遺漏；構造關於a的不等式要全面、合理，易出錯.
技巧與方法：該題實質上是二次函式的區間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函式之間的內在聯絡是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗.
解：m［1，4］有n種情況：其一是m=，此時δ＜0；其二是m≠，此時δ＞0，分三種情況計算a的取值範圍.
設f(x)=x2 －2ax+a+2，有δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)當δ＜0時，－1＜a＜2，m=［1，4］
(2)當δ=0時，a=－1或2.當a=－1時m= ［1，4］；當a=2時，m=［1，4］.
(3)當δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那麼m=［x1，x2］，m［1，4］1≤x1＜x2≤4
即，解得：2＜a＜，
∴m［1，4］時，a的取值範圍是(－1，).
●錦囊妙計
解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：
(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.
(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.
(3)掌握無理不等式的三種型別的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本型別的解法.
(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本型別的解法.
(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.
(6)對於含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)設函式f(x)=，已知f(a)＞1，則a的取值範圍是( )
a.(－∞，－2b.(－，)
c.(－∞，－2)∪(－，1d.(－2，－)∪(1，+∞)
二、填空題
2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函式，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，則f(x)·g(x)＞0的解集是
3.(★★★★★)已知關於x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值範圍是
三、解答題
4.(★★★★★)已知適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3.
(1)求p的值；
(2)若f(x)=，解關於x的不等式f-－1(x)＞(k∈r+)
5.(★★★★★)設f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、c∈r，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數x都成立，證明你的結論.
6.(★★★★★)已知函式f(x)=x2+px+q，對於任意θ∈r，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2.
(1)求p、q之間的關係式；
(2)求p的取值範圍；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.並求此時f(sinθ)的最小值.
7.(★★★★)解不等式loga(x－)＞1
8.(★★★★★)設函式f(x)=ax滿足條件：當x∈(－∞，0)時，f(x)＞1；當x∈(0，1時，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恆成立，求實數m的取值範圍.
參***
難點磁場
解：原不等式可化為：＞0，
即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.
若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，於是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).
當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)
綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）.
殲滅難點訓練
一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：
① 或 ② 或 ③
解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈
∴a的取值範圍是(－∞，－2)∪(－，1）
答案：c
二、2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均為奇函式，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－).由f(x)·g(x)＞0可得：
∴x∈(a2，)∪(－，－a2)
答案：(a2，)∪(－，－a2)
3.解析：原方程可化為cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原問題轉化為方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有乙個實根.
令f(t)=t2－2t－a－1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a∈［－2，2］.
答案：［－2，2］
三、4.解：(1)∵適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3，
∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.
若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，則原不等式為x2－3x+p+2≥0，其解集不可能為的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.
∴原不等式為x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.
(2)f(x)=，∴f-－1(x)=log8 (－1＜x＜1，
∴有log8＞log8，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.
∵－1＜x＜1，k∈r+，∴當0＜k＜2時，原不等式解集為；當k≥2時，原不等式的解集為.
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