難點3 運用向量法解題
平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫**生運用向量法來分析，解決一些相關問題.
●難點磁場
(★★★★★)三角形abc中，a(5，－1)、b(－1，7)、c(1，2)，求：(1)bc邊上的中線
am的長；(2)∠cab的平分線ad的長；(3)cosabc的值.
●案例**
［例1］如圖，已知平行六面體abcd—a1b1c1d1的底面 abcd是菱形，且∠c1cb=∠c1cd=∠bcd.
(1)求證：c1c⊥bd.
(2)當的值為多少時，能使a1c⊥平面c1bd？請給出證明.
命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.
知識依託：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.
錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關係和數量關係的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯絡.
技巧與方法：利用a⊥ba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數量積為零即可.
(1)證明：設=a, =b, =c,依題意，|a|=|b|，、、 中兩兩所成夾角為θ，於是=a－b， =c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴c1c⊥bd.
(2)解：若使a1c⊥平面c1bd，只須證a1c⊥bd，a1c⊥dc1，
由=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得
當|a|=|c|時，a1c⊥dc1，同理可證當|a|=|c|時，a1c⊥bd，
∴=1時，a1c⊥平面c1bd.
［例2］如圖，直三稜柱abc—a1b1c1，底面△abc中，ca=cb=1，∠bca=90°，aa1=2，m、n分別是a1b1、a1a的中點.
(1)求的長；
(2)求cos<>的值；
(3)求證：a1b⊥c1m.
命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的座標運算的方法來解決立體幾何問題.屬
★★★★級題目.
知識依託：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角座標系o－xyz,進而找到點的座標和求出向量的座標.
錯解分析：本題的難點是建系後，考生不能正確找到點的座標.
技巧與方法：可以先找到底面座標面xoy內的a、b、c點座標，然後利用向量的模及方向來找出其他的點的座標.
(1)解：如圖，以c為原點建立空間直角座標系o－xyz.
依題意得：b(0，1，0)，n(1，0，1)
∴||=.
(2)解：依題意得：a1(1，0，2)，c(0，0，0)，b1(0，1，2).
∴==(0，1，2)
=1×0+(－1)×1+2×2=3
||=(3)證明：依題意得：c1(0，0，2)，m()
∴∴a1b⊥c1m.
●錦囊妙計
1.解決關於向量問題時，一要善於運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的座標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.
2.向量的數量積常用於有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角座標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.
3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：
(1)要解決的問題可用什麼向量知識來解決？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關係？
(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)設a、b、c、d四點座標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形abcd為( )
a.正方形b.矩形
c.菱形d.平行四邊形
2.(★★★★)已知△abc中， =a， =b，a·b<0，s△abc=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )
a.30b.－150c.150d.30°或150°
二、填空題
3.(★★★★★)將二次函式y=x2的圖象按向量a平移後得到的圖象與一次函式y=2x－5的圖象只有乙個公共點(3，1)，則向量a
4.(★★★★)等腰△abc和等腰rt△abd有公共的底邊ab，它們所在的平面成60°角，若ab=16 cm,ac=17 cm,則cd
三、解答題
5.(★★★★★)如圖，在△abc中，設=a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.
6.(★★★★)正三稜柱abc—a1b1c1的底面邊長為a,側稜長為a.
(1)建立適當的座標系，並寫出a、b、a1、c1的座標；
(2)求ac1與側面abb1a1所成的角.
7.(★★★★★)已知兩點m(－1，0)，n(1，0)，且點p使成公差小於零的等差數列.
(1)點p的軌跡是什麼曲線？
(2)若點p座標為(x0,y0),q為與的夾角，求tanθ.
8.(★★★★★)已知e、f、g、h分別是空間四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da的中點.
(1)用向量法證明e、f、g、h四點共面；
(2)用向量法證明：bd∥平面efgh；
(3)設m是eg和fh的交點，求證：對空間任一點o，有.
參***
難點磁場
解：(1)點m的座標為xm=
d點分的比為2.
∴xd=
(3)∠abc是與的夾角，而=(6，8），=(2，－5）.
殲滅難點訓練
一、1.解析： =(1，2），=(1，2），∴=，∴∥，又線段ab與線段dc無公共點，∴ab∥dc且|ab|=|dc|，∴abcd是平行四邊形，又||=， =(5，3abcd不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），
∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直於，∴abcd也不是矩形，故選d.
答案：d
2.解析：∵·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.
又∵a·b＜0,∴α=150°.
答案：c
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵與共線，∴ =m=m(－)=m(μb－a),
∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb
又與共線，∴ =n=n(－)=n(λa－b),
∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b
由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.
∵a與b不共線
解方程組③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.
6.解：(1)以點a為座標原點o，以ab所在直線為oy軸，以aa1所在直線為oz軸，以經過原點且與平面abb1a1垂直的直線為ox軸，建立空間直角座標系.
由已知，得a(0，0，0），b(0，a,0）,a1(0,0, a),c1(－a).
(2)取a1b1的中點m，於是有m(0， a），連am，mc1，有=(－a,0,0）,
且=(所以所成的角，即ac1與側面abb1a1所成的角為30°.
7.解：(1)設p(x,y）,由m(－1，0），n(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴·=2(1+x),·=x2+y2－1, =2(1－x).
於是，是公差小於零的等差數列，等價於
所以，點p的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.
(2)點p的座標為(x0,y0)
8.證明：(1）鏈結bg，則
由共面向量定理的推論知：e、f、g、h四點共面，(其中=）
(2）因為.
所以eh∥bd，又eh面efgh，bd面efgh
所以bd∥平面efgh.
(3）連om，oa，ob，oc，od，oe，og
由(2）知，同理，所以，ehfg,所以eg、fh交於一點m且被m平分，所以.
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