●難點磁場
(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).
●案例**
［例1］(1)已知函式f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表示式.
(2)已知二次函式f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求 f(x) 的表示式.
命題意圖：本題主要考查函式概念中的三要素：定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目.
知識依託：利用函式基礎知識，特別是對「f」的理解，用好等價轉化，注意定義域.
錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯.
技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定係數法.
解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0因此f(t)= (at－a－t)
∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
得並且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時等於1或－1，所以所求函式為：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.
［例2］設f(x)為定義在r上的偶函式，當x≤－1時，y=f(x)的圖象是經過點(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(－1，1)的一段拋物線，試寫出函式f(x)的表示式，並在圖中作出其圖象.
命題意圖：本題主要考查函式基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函式的分析需要較強的思維能力.因此，分段函式是今後高考的熱點題型.
屬★★★★題目. 知識依託：函式的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定係數求出曲線方程是主線.
錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發生混亂.
技巧與方法：合理進行分類，並運用待定係數法求函式表示式.
解：(1)當x≤－1時，設f(x)=x+b
∵射線過點(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.
(2)當－1∵拋物線過點(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1
∴f(x)=－x2+2.
(3)當x≥1時，f(x)=－x+2
綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題及解決方法主要有：
1.待定係數法，如果已知函式解析式的構造時，用待定係數法；
2.換元法或配湊法，已知復合函式f［g(x)］的表示式可用換元法，當表示式較簡單時也可用配湊法；
3.消參法，若已知抽象的函式表示式，則用解方程組消參的方法求解f(x);
另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)若函式f(x)= (x≠)在定義域內恒有f［f(x)］=x,則m等於( )
a.3bcd.－3
2.(★★★★★)設函式y=f(x)的圖象關於直線x=1對稱，在x≤1時，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時f(x)等於( )
二、填空題
3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x
三、解答題
5.(★★★★)設二次函式f(x)滿足f(x－2)=f(－x－2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式.
6.(★★★★)設f(x)是在(－∞,+∞)上以4為週期的函式，且f(x)是偶函式，在區間［2，3］上時，f(x)=－2(x－3)2+4，求當x∈［1,2］時f(x)的解析式.若矩形abcd的兩個頂點a、b在x軸上，c、d在y=f(x)(0≤x≤2)的圖象上，求這個矩形面積的最大值.
7.(★★★★★)動點p從邊長為1的正方形abcd的頂點a出發順次經過b、c、d再回到a，設x表示p點的行程，f(x)表示pa的長，g(x)表示△abp的面積，求f(x)和g(x),並作出g(x)的簡圖.
8.(★★★★★)已知函式y=f(x)是定義在r上的週期函式，週期t=5，函式y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函式，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函式，在［1，4］上是二次函式，且在x=2時，函式取得最小值，最小值為－5.
(1)證明：f(1)+f(4)=0;
(2)試求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)試求y=f(x)在［4，9］上的解析式.
參***
難點磁場
解法一：(換元法）
∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令u=2－cosx(1≤u≤3),則cosx=2－u
∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配湊法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(x)=.
∴f［f(x)］==x,整理比較係數得m=3.
答案：a
2.解析：利用數形結合，x≤1時，f(x)=(x+1)2－1的對稱軸為x=－1,最小值為－1，又y=f(x)關於x=1對稱，故在x>1上，f(x)的對稱軸為x=3且最小值為－1.
答案：b
二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面兩式聯立消去f()可得f(x)=－x.
答案：f(x)=－x
4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)= x2+x.
答案： x2+x
三、5.解：利用待定係數法，設f(x)=ax2+bx+c,然後找關於a、b、c的方程組求解，f(x)=.
6.解：(1)設x∈［1,2］,則4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函式，∴f(x)=f(－x),又因為4是f(x)的週期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
(2)設x∈［0，1］，則2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］時，f(x)=－2(x－1)2+4,設a、b座標分別為(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,則|ab|=2t,|ad|=－2t2+4,s矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令s矩=s，∴ =2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3=,當且僅當2t2=2－t2,即t=時取等號.∴s2≤即s≤,∴smax=.
7.解：(1)如原題圖，當p在ab上運動時，pa=x;當p點在bc上運動時，由rt△abd 可得pa=;當p點在cd上運動時，由rt△adp易得pa=;當p點在da上運動時，pa=4－x,故f(x)的表示式為：
f(x)=
(2)由於p點在折線abcd上不同位置時，△abp的形狀各有特徵，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對p點的位置進行分類求解.
如原題圖，當p**段ab上時，△abp的面積s=0；當p在bc上時，即1＜x≤2時，s△abp=ab·bp= (x－1）；當p在cd上時，即2＜x≤3時，s△abp=·1·1=；當p在da上時，即3＜x≤4時，s△abp= (4－x).
故g(x)=
8.(1)證明：∵y=f(x)是以5為週期的週期函式，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函式，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解：當x∈［1,4］時，由題意，可設f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函式，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函式，∴可設f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴當0≤x≤1時，f(x) =－3x,當－1≤x＜0時，f(x)=－3x,當4≤x≤6時，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=
－3(x－5)=－3x+15, 當6＜x≤9時，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.
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