高三寒假作業數學二（理科）
第ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑．
1．設全集u＝r，集合a＝，b＝，則（cua）∩b等於
a．[－1，3） b．（0，2c．（1，2d．（2，3）
2．如果等差數列{}中，a3＋a4＋a5＝12，那麼a1＋a2＋…＋a7＝
a．14b．2lc．28d．35
3．已知某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
ab．3π
cd．6π
4．設複數z1＝－1＋3i，z2＝1＋i，並且z1·z2，
在復平面上對應的點分別為p1，p2，
則與的夾角為
a．90b．60c．30d．120
5．設α，β是平面，a，b是直線．如果α∩β＝m，aα，bβ，b⊥m，則「α⊥β」是「a ⊥b」的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
6．已知橢圓c1：（a＞b＞0）與雙曲線c2：
有公共的焦點，並且點（a，b）在c2的一條漸近線上，則
c1的方程為
a． b．
c． d．
7．已知函式f（x）＝x＋，那麼執行右邊的程式框圖的
輸出結果是
a．50b．51
c．4950 d．4951
8．已知sin（x＋）＝, 則cos（2x－）＝
ab．一cd．一
9．若x, y滿足約束條件：，則x－y的取值範圍是
a．[－3，0] b．[－，0] c．[,3d．[0，3]
10．設a＞b＞1，c＜0，給出下列四個結論：
①＞1其中所有的正確結論的序號是
abcd．②③④
11．在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重複數字的四位數中，不能被5整除的數共有
a．372b．180c．192d．300
12．已知函式f（x）＝則函式y＝3f（x）－1在區間[－10，10]上零點的個數為
a．12b．10c．22d．20
第ⅱ卷（非選擇題，共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～24題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知拋物線c：＝8x，若斜率為1的直線經過拋物線c的焦點，且與圓 （r＞0）相切，則r
14．在半徑為2的球面中，有乙個底面是等邊三角形，側梭與底面垂直的三稜柱的頂點都在這個球面上，則該三稜柱的側面積的最大值為
15．已知數列{}滿足a1＝1，a2＝2，－＝1＋，則數列{}的前30項的和為
16．已知命題①：存在正實數m，使得；命題②：存在正實數m，使得；
命題③：存在實數m，使得直線y＝2x＋m與雙曲線有兩個不同的交點；
命題④：對任意k∈r，直線y＝k（x－1）與橢圓有兩個交點．
其中的真命題是寫出所有真命題的編號）
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
設函式f（x）＝＋sinxcosx＋．
（ⅰ）求f（x）的最小正週期;
（ⅱ）在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且函式f（x）在x＝a時取得最大值a，求△abc的面積s的最大值．
18．（本小題滿分12分）)
如圖，ab是⊙o的直徑，vc是圓柱oo1的母線．
（ⅰ）求證：平面vac⊥平面vbc；
（ⅱ）當ab＝2，ac＝1，二面角v－ab－c為時60°，
求圓柱的側面積．
19．（本小題滿分12分）
某校近期組織了一場國防知識竟
答活動，現從中隨機抽取了100
份試卷，並將他們的成績繪製成
頻率分布直方圖（如圖）．
（ⅰ）若要從分數名e[120，130），
[130，140），[140，150]三組內的
學生中，用分層抽樣的方法選取
18人參加一項活動，求分數在
[140，150]內的學生中選取的人數：
（ⅱ）將分數在[120，130），
[130，140），[140，150]三組內的學
生稱為「軍迷」，根據已知條件完成
下面的2×2列聯表，並據此資料你
是否認為「軍迷」與「性別」有關?
（ⅲ）將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該校學生中，採用隨機抽樣方法每次
抽取1名學生，抽取3次，記被抽取的3名學生中的「軍迷」人數為x.。若每次抽取的
結果是相互獨立的，求x的分布列和期望e（x）．
20．（本小題滿分12分）
設a1（－2,0），a2（2,0），p是動點，且直線a1p與a2p的斜率之積等於－．
（ⅰ）求動點p的軌跡e的方程：
（ⅱ）設軌跡e的左、右焦點分別為f1，f2，互相垂直的直線mf1和mf2與橢圓的交點
分別為a、b和c、d．問是否存在常數λ，使得｜ab｜＋｜cd｜＝
λ｜ab｜·｜cd｜恆成立?若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分12分）
已知f（x）＝＋ax＋a，g（x）＝，（x）＝f（x）·g（x）．
（ⅰ）求函式g（x）在點（0，1）處的切線與直線x＝1及曲線y＝g（x）所圍成的封閉
圖形的面積；
（ⅱ）設a≠2，求函式（x）的極大值m,並證明當a＜2時，m不可能大於3．
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．做答時，請寫清楚題號．
22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，△abc的角平分線ad的延長線交它的外接圓於點
e．（ⅰ）證明：△abe∽△adc；
（ⅱ）若△abc的面積s＝ad·ae，求∠bac的大小．
23．（本小題滿分10分）選修4－4：座標系與引數方程
已知直線c1：（t為引數），圓c2：（θ為引數）．
（ⅰ）當α＝時，求c1被c2截得的線段的長：
（ⅱ）過座標原點o作c1的垂線，垂足為a，當α變化時，求a點軌跡的引數方程，並
指出它是什麼曲線．
24．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
（ⅰ）解不等式：｜2x－1｜－｜x｜＜1；
（ⅱ）設f（x）＝－x＋1，實數a滿足｜x－a｜＜1，求證：
｜f（x）－f（a）｜＜2（｜a｜＋1）．
高三理科數學答案
一．選擇題：
(1)b (2)c (3)b (4)a (5)a (6)a (7)a (8)d (9)a (10)b (11)c (12)a
二．填空題：
(13)，(14)，(15)255， (16) ①④．
三．解答題：
(17)（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）∵
或3分∴的最小正週期為5分
（ⅱ）由（ⅰ）知，當時，
即時，最大為26分
7分8分
又9分10分 ∴，當僅當時取等號11分
∴面積s的最大值為12分
(18)（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）∵vc是圓柱oo1的母線，∴vc⊥⊙o所在的平面abc，………… 2分
∴vc⊥bc3分
∵ab是⊙o的直徑，∴bc⊥ac4分
∴bc⊥平面vac5分
∴平面vac⊥平面vbc6分
（ⅱ）作cd⊥ab於d，連vd，由（ⅰ）可知，ab⊥平面vcd，
∴∠vdc就是二面角v－ab－c的平面角，即∠vdc=60°． ……… 8分
在rt△abc中，ab=2，ac=1，∴cd=，∴．… 10分
∴圓柱oo1的側面積為12分
(19)（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）分數在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三組內的學生人數分別為30，20，10．
∴分數在[140，150]內的學生中選取的人數為人． ……… 3分
（ⅱ）根據已知條件，列聯表如下5分
∵．…… 6分
∴所以有99．9%的把握認為「軍迷」與「性別」有關7分
（ⅲ）根據頻率分布直方圖可得：抽到「軍迷」的概率為， ……… 8分
由題意，從而x的分布列如下：
………… 11分12分
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