2012屆高三數學綜合練習（ 四 ）姓名
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上．
1．已知全集，集合，，則
2．已知複數的實部為，模為，則複數的虛部是
3.已知集合,在中可重複的依次取出三個數，則「以為邊恰好構成三角形」的概率是
4． 設定義在區間上的函式的圖象與圖象的交點橫座標為，則的值為
5． 已知是上的奇函式，且時，，則不等
式的解集為
6． 已知數列與均為等比數列，且，則
7． 若集合，則整數的最小值為
8． 如圖，表示第個學生的學號，表示第個學生的成績，
已知學號在1~10的學生的成績依次為401、392、385、359、
372、327、354、361、345、337，則列印出的第5組資料是
9．已知函式的影象過點，則此函式的最小值是 __ ．；
10．當鈍角的三邊是三個連續整數時，則外接圓的半徑為___ _．
；11．記當時，觀察下列等式：
，，，，，可以推測
；12．.以橢圓（）的右焦點為圓心的圓經過原點，且與該橢圓的右準線交與兩點，已知是正三角形，則該橢圓的離心率是
13．已知：，：，是平面內一動點，過作、的切線，切點分別為、，若，則到座標原點距離的最小值為 ．
；14．已知函式的圖象在點處的切線與軸的交點的橫座標為，其中，， 則
二.解答題：本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟．
15．在中，角的對邊分別是，且．
（1）求的值；
（2）試判斷的形狀，並說明理由．
（1）由得，
在△abc中3分
由得，由正弦定理得，
所以7分
（2）△abc為等邊三角形，下證之9分
由知不失一般性，可設，
則，消去得，即，
所以，，即證14分
16．如圖，在三稜柱中，，，，、、分別是線段、、的中點．
求證：（1）平面；
（2）平面平面．
(1)因為分別為線段的中點，所以，
又因為，所以2分
又因為平面，所以平面6分
(2)因為，且
所以平面8分
又因為平面，所以
又因為，所以10分
因為為的中點，所以
因為，所以平面12分
又因為平面，所以平面平面14分
17．如圖為河岸一段的示意圖，一游泳者站在河岸的點處，欲前往河對岸的點處．若
河寬為，、相距，他希望盡快到達，準備從步行到（為河
岸上的點），再從游到．已知此人步行速度為，游泳速度為．
（1）設，試將此人按上述路線從到所需時間表示為的函式；並求
自變數取值範圍；
（2）當為何值時，此人從經游到所需時間最小，其最小值是多少？
18.如圖，橢圓的左焦點為，上頂點為，過點作直線的垂線分別交橢圓、軸於兩點.
（1）若,求實數的值；
（2）設點為的外接圓上的任意一點，當的面積最大時，求點的座標.
18解：（1）由條件得
因為所以
令得所以點的座標為.
由得解得（舍）
所以點的座標為.
因為，所以且
（2）因為是直角三角形，
所以的外接圓的圓心為，半徑為
所以圓的方程為.
因為為定值，所以當的面積最大時點到直線的距離最大.
過作直線的垂線，則點為直線與圓的交點 .
直線與聯立得（舍）或
所以點的座標為.
19.已知數列的前n項和和為滿足為常數），且對於任意的，
成等比數列，數列的前n 項和為.
（1）求數列的通項公式；
（2）求使不等式成立的n人最大值；
（3）若數列中的成等比數列，求的值.
19解：（1）＝，
當時，故………………2分
由成等比數列可得：
化簡得：，因為對於任意的恆成立，
所以，所以………………5分
（2）由(1)得
所以……8分
若，即，所以，故………………10分
(3) 所以，
若成等比數列，則
即12分
因為，故，即，……14分
從而：，又且，所以或，
當時，不合題意，當時，得
綜上可知：當且僅當，可使數列中的成等比數列……16分
20．若函式為定義域上單調函式，且存在區間（其中），使得當時，的取值範圍恰為，則稱函式是上的正函式，區間叫做等域區間．
（1）已知是上的正函式，求的等域區間；
（2）試**是否存在實數，使得函式是上的正函式？若存在，請求出實數的取值範圍；若不存在，請說明理由．
20解： （1）因為是上的正函式，且在上單調遞增，
所以當時， 即3分
解得，故函式的「等域區間」為5分
（2）因為函式是上的減函式，
所以當時，即7分
兩式相減得，即9分
代入得，
由，且得11分
故關於的方程在區間內有實數解，……………………13分
記，則解得16分
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