2012屆高三數學綜合練習（ 二 ） 姓名
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填在題中橫線上．
1.設集合,，則
2.乙個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取乙個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工人． 10
3．拋物線的焦點座標是
4.若則的值是
5. 已知. 若，則與夾角的大小為
6.已知實數滿足（其中是虛數單位），則雙曲線的離心率
為7.設二次函式在上有最大值4，則實數的值為______.
或8．在等差數列中，若，則4
9.若函式的零點在區間上,則的值為 .
10. 若直線與圓相交，則點與圓的位置關係是_____（填在圓上或圓外或圓內）. 圓內
11.已知，是原點，點的座標為滿足條件則的取值範圍是
12.在中,已知,若分別是角所對的邊,則的最大值為
13.給出下列四個命題：
①「」是「函式」的充要條件；
②函式個單位所得的函式表示式是；
③函式的取值範圍是；
④設是△內部一點，且的面積之比為1：2；
其中真命題的序號是寫出所有真命題的序號）． ④
14.設為正整數，兩直線的交點是，對於正整數，過點的直線與直線的交點記為，則
二、解答題：本大題共6小題，共90分．第15—17題每小題14分，
第18—20題每小題16分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15.已知複數，，，
求：（1）求的值；
（2）若,且,求的值．
解2分∵，
5分∴cos7分
（２）∵,∴0<α-β<π,由（1）得cos(αβ)=,
∴sin又sinβ=,∴cosβ=.…………… 11分
∴ sinα=sin［(αβ)+β］
=sin(αβ)cosβ+cos(αβ)sinβ
14分16．已知直三稜柱中，分別為的中點，,點**段上，且．
⑴求證:；
⑵若為線段上一點，試確定**段上的位置，
使得平面．
證明：⑴由直三稜柱可知平面,所以，…………2分
又因為，面，
故4分又在直三稜柱中，，
故面在平面內，所以…………6分
⑵鏈結，在上取點，使8分
鏈結，,，在中，由，
所以12分
又在麵中，易證，所以平面． …………14分
17.已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝千件並全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且．
（1）寫出年利潤（萬元）關於年產品（千件）的函式解析式；
（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入－年總成本）
解：（1）當0<≤10時，
當》10時
5分（2）①當0<≤10時，由
當∴當=9時，取最大值，且 ……………10分
②當》10時， =98
當且僅當
綜合①、②知時，取最大值．
所以當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝生產中獲利最大． ……………14分
18.已知直線：（為常數）過橢圓（）的上頂點和左焦點，直線被圓截得的弦長為．
（1）若，求的值
（2）若，求橢圓離心率的取值範圍．
解：（1）取弦的中點為，鏈結
由平面幾何知識，
3分解得5分
∵直線過f、b ，∴則6分
（2）設弦的中點為，鏈結則9分
解得11分
16分（本題也可以利用特徵三角形中的有關資料直接求得）
19. 已知函式
⑴當時，求函式的單調區間；⑵求函式在區間上的最小值．
解2分由得, 解得或．
注意到,所以函式的單調遞增區間是．
由得,解得,
注意到,所以函式的單調遞減區間是．
綜上所述，函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是．…………6分
⑵當時,，所以
設．①當時，有, 此時,所以,在上單調遞增．所以8分
②當時, ,
令,即,解得或(舍)；
令,即,解得．
若,即時,在區間單調遞減，
所以．若,即時,在區間上單調遞減,
在區間上單調遞增,
所以．若,即時,在區間單調遞增，
所以14分
綜上所述,
當時,；
當時，；
當時16分
20.設數列滿足，令.
⑴試判斷數列是否為等差數列？並求數列的通項公式；
⑵令，是否存在實數，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由．
⑶比較與的大小．
解：⑴由已知得,
即2分所以,即
又,所以數列為等差數列，通項公式為. …………6分
(2)令，由，得
所以，數列為單調遞減數列8分
所以數列的最大項為，
若不等式對一切都成立，只需，解得，
又，所以的取值範圍為12分
（3）問題可轉化為比較與的大小．設函式，所以．
當時，；當時，．所以在上為增函式；
在上為減函式．
當時，顯然有，
當時，，即，所以，
即所以．
綜上：當時，，即；
當時，即16分
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