【ks5u】新課標2023年高一數學寒假作業1
《數學》必修一~二
一、 選擇題.
1.集合a=，b=，則a∩b=（）
a． b． c． d．
2.己知，則m等於（）
a． b． c． d．
3.已知函式，則方程f(x)＝4的解集為( )
a． b．
c． d．
4.乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中主（正）檢視是邊長為2的正三角形，俯檢視是正方形，那麼該幾何體的左（側）檢視的面積是（）
a． 2 b． c． 4 d． 2
5.給出以下四個命題：
①如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行；
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面；
③如果兩條直線都平行於乙個平面，那麼這兩條直線互相平行；
④如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直．
其中真命題的個數是（）
a． 4 b． 3 c． 2 d． 1
6.已知兩個球的表面積之比為1 ：3，則這兩個球的體積之比為( )
7.已知a，b滿足a+2b=1，則直線ax+3y+b=0必過定點（ ）
a． （） b． （） c． （） d． （）
8.已知圓c1：（x﹣2）2+（y+1）2=1，圓c2與圓c1關於直線x﹣y﹣2=0對稱，則圓c2的方程為（ ）
a． （x﹣1）2+y2=1 b． x2+（y﹣1）2=1 c． （x+1）2+y2=1 d． x2+（y+1）2=1
9.設b、c表示兩條不重合的直線，表示兩個不同的平面，則下列命題是真命題的是
a. b.
cd.10.函式的零點個數為( )
a．0 b．1 c．2 d．3
二．填空題.
11.計算lg
12.乙個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的表面積為12π，則該正方體的體積為 ．
13.如圖，網格紙上小正方形的邊長為2，粗線畫出的是某幾何體的三檢視，則此幾何體的體積為
14.已知函式，若關於的方程有兩個不同的實根，則實數的取值範圍是
三.解答題.
15.（1）計算：；
（2）解方程：．
16.經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與**（元）均為時間t的函式，且銷售量g（t）=80﹣2t（件），**滿足（元），
（1）試寫出該商品日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的關係式；
（2）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
17.如圖，在三稜柱abc﹣a1b1c1中，側稜垂直於底面，∠acb=90°，2ac=aa1，d，m分別是稜aa1，bc的中點．證明：
（1）am∥平面bdc1
（2）dc1⊥平面bdc．
【ks5u】新課標2023年高一數學寒假作業1
《數學》必修一~二參***
考點： 交集及其運算．
專題： 計算題．
分析： 由a與b，找出兩集合的交集即可．
解答： ∵a=，b=，
∴a∩b=．
故選a點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．
考點： 函式的值．
專題： 計算題．
分析： 設，求出f（t）=4t+7，進而得到f（m）=4m+7，由此能夠求出m．
解答： 解：設，則x=2t+2，
∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，
解得m=﹣．
故選a．
點評： 本題考查函式值的求法，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的靈活運用．
3. d. 當x≥0時，由x＋1＝4，得x＝3；
當x<0時，由2|x|＝4，得|x|＝2，x＝±2.
又∵x<0，∴x＝－2，
故方程f(x)＝4的解集為．
考點： 由三檢視求面積、體積．
專題： 計算題；空間位置關係與距離．
分析： 由題意可知左檢視與主檢視形狀完全一樣是正三角形，可得結論．
解答： 解：由題意可知左檢視與主檢視形狀完全一樣是正三角形，
因為主（正）檢視是邊長為2的正三角形，
所以幾何體的左（側）檢視的面積s==
故選：b．
點評： 本題考查由三檢視求面積、體積，求解的關鍵是根據所給的三檢視判斷出幾何體的幾何特徵．
考點： 空間中直線與平面之間的位置關係．
分析： 對於立體幾何中的線線、線面、面面關係的判定可依據課本中有關定理結論進行判斷，也可列舉反例從而說明不正確即可．
解答： 解：觀察正方體中的線面位置關係，結合課本中在關線面位置關係的定理知，
①②④正確．
對於③，a′b′、a′d′都平行於乙個平面ac，但它們不平行，故③錯．
故選b．
點評： 本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關係，考查空間想象能力和推理論證能力，屬於基礎題．
6. b
考點： 恆過定點的直線．
專題： 計算題．
分析： 利用已知條件，消去a，得到直線系方程，然後求出直線系經過的定點座標．
解答： 解：因為a，b滿足a+2b=1，則直線ax+3y+b=0化為（1﹣2b）x+3y+b=0，
即x+3y+b（﹣2x+1）=0恆成立，
，解得，
所以直線經過定點（）．
故選b．
點評： 本題考查直線系方程的應用，考查直線繫過定點的求法，考查計算能力．
考點： 圓的標準方程．
專題： 直線與圓．
分析： 先根據圓c1的方程求出圓心和半徑，再根據垂直及中點在軸上這兩個條件，求出圓心關於直線的對稱點的座標，即可求得關於直線對稱的圓的方程．
解答： 解：圓c1：（x﹣2）2+（y+1）2=1的圓心為 c1（2，﹣1），半徑為1，
設圓心c1（2，﹣1）關於直線x﹣y﹣2=0的對稱點為c2（m，n），
則由 ，求得 ，故c2（1，0），
再根據半徑為1，可得圓c2的方程為（x﹣1）2+y2=1，
故選：a．
點評： 本題主要考查求乙個圓關於一條直線的對稱的圓的方程的方法，關鍵是求出對稱圓的圓心座標，屬於基礎題．
【考點】根的存在性及根的個數判斷．
【專題】數形結合．
【分析】題目中條件：「函式的零點個數」轉化為方程lnx=x2﹣2x的根的個數問題及一次函式2x+1=0的根的個數問題，分別畫出方程lnx=x2﹣2x左右兩式表示的函式圖象即得．
【解答】解：∵對於函式f（x）=lnx﹣x2+2x的零點個數
∴轉化為方程lnx=x2﹣2x的根的個數問題，分別畫出左右兩式表示的函式：如圖．
由圖象可得兩個函式有兩個交點．
又一次函式2x+1=0的根的個數是：1．
故函式的零點個數為3
故選d．．
【點評】函式的圖象直觀地顯示了函式的性質．在判斷方程是否有解、解的個數及一次方程根的分布問題時，我們往往建構函式，利用函式的圖象解題．體現了數形結合的數學思想．
11.1
考點： 對數的運算性質．
專題： 計算題．
分析： 利用用對數的運算性質lgmn=nlgm，計算可得答案．
解答： 原式=lg+=+=1，
故答案是：1．
點評： 本題考查了對數的運算性質．
12.8
考點： 球內接多面體．
專題： 球．
分析： 由題意求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，求出正方體的稜長，然後正方體的體積．
解答： 解：乙個正方體的各個頂點都在乙個表面積為12π的球面上，
所以4πr2=12
所以球的半徑：，
正方體的稜長為a：a=2，a=2，所以正方體的體積為：8．
故答案為：8
點評： 本題是基礎題，考查正方體的外接球的表面積，求出正方體的體積，考查計算能力．
13.72
14.15.【考點】對數的運算性質．
【專題】函式的性質及應用．
【分析】（1）利用指數冪和對數的運算性質即可得出；
（2）利用對數的運算性質及一元二次方程的解法即可求出．
【解答】解：（1）原式=+=5+9+=14﹣4=10；
（2）∵方程，∴lgx（lgx﹣2）﹣3=0，
∴lg2x﹣2lgx﹣3=0，∴（lgx﹣3）（lgx+1）=0，
∴lgx﹣3=0，或lgx+1=0，
解得x=1000或．
【點評】熟練掌握指數冪和對數的運算性質是解題的關鍵．
16.考點： 函式模型的選擇與應用．
專題： 計算題．
分析： （1）日銷售額y=銷售量g（t）×商品**f（t），代入整理即可；
（2）由（1）知，去掉絕對值，得到分段函式y=；在每一段上求出函式y的取值範圍，從而得函式y的最大值與最小值．
解答： （1）日銷售量函式y=g（t）f（t）=（80﹣2t）=（40﹣t）（40﹣|t﹣10|）
（2）y=
當0≤t＜10時，y=﹣t2+10t+1200，且當t=5時，ymax=1225，∴y∈；
所以，該種商品的日銷售額y的最大值為1225元，最小值為600元．
點評： 本題考查了含有絕對值的函式的應用模型，在遇到含有絕對值的函式時，通常轉化為分段函式來解答．
17.考點： 直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．
專題： 證明題；空間位置關係與距離．
分析： （1）取bc1的中點n，連線dn，mn，證明dn∥am，即可證明am∥平面bdc1；
（2）證明dc1⊥bc，且dc1⊥dc，即可證明dc1⊥平面bdc．
解答： 證明：（1）如圖所示，
取bc1的中點n，連線dn，mn．
則mn∥cc1，且mn=cc1；
又ad∥cc1，且ad=cc1，
∴ad∥mn，且ad=mn；
∴四邊形adnm為平行四邊形，
∴dn∥am；
又dn平面bdc1，am平面bdc1，
∴am∥平面bdc1…（6分）
（2）由已知bc⊥cc1，bc⊥ac，
又cc1∩ac=c，
∴bc⊥平面acc1a1，
又dc1平面acc1a1，
∴dc1⊥bc；
由已知得∠a1dc1=∠adc=45°，
∴∠cdc1=90°，
∴dc1⊥dc；
又dc∩bc=c，
∴dc1⊥平面bdc．…（12分）
點評： 本題考查了空間中的平行與垂直的應用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應用問題，是基礎題目．
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