難點17 三角形中的三角函式式
三角形中的三角函式關係是歷年高考的重點內容之一，本節主要幫**生深刻理解正、餘弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點磁場
(★★★★★)已知△abc的三個內角a、b、c滿足a+c=2b.，求cos的值.
●案例**
［例1］在海島a上有一座海拔1千公尺的山，山頂設有乙個觀察站p，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的b處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的c處。
(1)求船的航行速度是每小時多少千公尺；
(2)又經過一段時間後，船到達海島的正西方向的d處，問此時船距島a有多遠？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.
知識依託：主要利用三角形的三角關係，關鍵找準方位角，合理利用邊角關係.
錯解分析：考生對方位角識別不准，計算易出錯.
技巧與方法：主要依據三角形中的邊角關係並且運用正弦定理來解決問題.
解：(1)在rt△pab中，∠apb=60° pa=1，∴ab= (千公尺)
在rt△pac中，∠apc=30°，∴ac= (千公尺)
在△acb中，∠cab=30°+60°=90°
(2)∠dac=90°－60°=30°
sindca=sin(180°－∠acb)=si****=
sincda=sin(∠acb－30°)=si****·cos30°－cosacb·sin30°.
在△acd中，據正弦定理得，
∴答：此時船距島a為千公尺.
［例2］已知△abc的三內角a、b、c滿足a+c=2b，設x=cos，f(x)=cosb().
(1)試求函式f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調性，並加以證明；
(3)求這個函式的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運用三角知識解決綜合問題的能力，並且考查考生對基礎知識的靈活運用的程度和考生的運算能力，屬★★★★級題目.
知識依託：主要依據三角函式的有關公式和性質以及函式的有關性質去解決問題.
錯解分析：考生對三角函式中有關公式的靈活運用是難點，並且不易想到運用函式的單調性去求函式的值域問題.
技巧與方法：本題的關鍵是運用三角函式的有關公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意||的範圍.
解：(1)∵a+c=2b，∴b=60°，a+c=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］.
(2)設x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
=，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函式.
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞.
高考數學重點難點複習 17 解三角形及其應用
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三角形中的三角函式
撰稿人 張志泉審稿人 高三數學組 主幹知識整合 近幾年高考對三角函式的考查主要考查公式的綜合靈活運用 變換能力，一般要運用和角，差角，二倍角公式等.題型常以填空題 選擇題出現，解答題屬中檔題。1.任意角的正弦，余弦，正切的定義，同角的三角函式的基本關係式，正余弦的誘導公式。2.兩角和與兩角差的正弦，...