五、特徵值與特徵向量、相似矩陣與二次型
1. 正交矩陣:.則稱為正交矩陣.
注1.為正交陣,則,
注2.為正交陣,則均為正交陣.
注3.為正交陣,則的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；
注4. 若、正交陣，則也是正交陣；
注5. 求解正交陣時，千萬勿忘施密特正交化和單位化。
2. 施密特正交化：
；3. 數為方陣的特徵值
有非零解．
4. 如何求特徵值與特徵向量？
(1)為具體矩陣
第一步. 求解得特徵值(可能有重根)
第二步. 對每個求出的基礎解系(即對應有個線性無關的特徵向量)
第三步.對應的全部特徵為
(2)為抽象矩陣
法一為的特徵值;
法二定義法
5. 對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
對於實對稱陣，不同特徵值對應的特徵向量正交。
6.相似，則有四同，即
(1)； (2) 相同的特徵值； (3)； (4)．
7. 求正交矩陣（）將實對稱矩陣對角化的步驟
(1) 求的特徵值與特徵向量;
(2)的特徵值無重根,將特徵向量單位化；若的特徵值有重根,,將重根對應的線性無關的特徵向量正交化再單位化 (schmidt正交化)得正交單位向量組
(3)構造正交陣
(4) (注意與的對應)
8．矩陣的合同
和為兩個階對稱矩陣,若存在階可逆矩陣使，則稱與合同，稱由到的變換為合同變換.
注1經可逆線性變換原二次型矩陣與新二次型矩陣合同.
注2.是正交矩陣,那麼, ,所以不僅合同而且相似.
注3.任一實對稱矩陣均合同且相似於乙個對角陣
注4．若用正交變換, (標準型)即與合同且與相似,其中的對角線為的特徵值.
9. 求正交變換化二次型為標準形步驟
(1)寫出二次型的矩陣；
(2)求出的特徵值及特徵值對應的特徵向量；
(3)單位化(特徵值有重根可能要正交化) ，得正交單位向量組；
(4)構造正交陣；
(5)寫出正交變換,得
注:只有用正交變換化二次型為標準形時,標準形平方項的係數才是的特徵值.
10.矩陣的等價,相似,合同
①、與等價經過初等變換得到，（、可逆），、同型；
②、與合同，（其中可逆）與有相同的正、負慣性指數；
③、與相似 ；
11. 合同等價 ； 相似等價； 在實對稱的前提下,相似合同.
12.證明矩陣正定常用的方法
（1）正定規範標準形為．
（2）階實對稱陣正定的特徵值全大於0
的順序主子式全大於0的正慣性指數為．
（3）正定
13.階方陣各行元素之和為是的徵值,是屬於的特徵向量
14. 矩陣等價與向量組等價的聯絡與區別
一般地,矩陣等價向量組等價, 向量組等價矩陣等價
例.,矩陣等價,但是他們的列向量組不等價.
與,兩個向量組等價，但矩陣與不等價.
但,則等價矩陣等價,但反之未必;
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