《線性代數》常見證明題型及常用思路
二、證明題
題型1.關於線性相關性的證明中常用的結論
(1)設,然後根據題設條件,通過解方程組或其他手段:如果能證明必全為零,則線性無關;如果能得到不全為零的使得等式成立,則線性相關。
(2)線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。
(3)如果,則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。
(4)如果我們有兩個線性無關組, 且是同乙個線性空間的兩個子空間,要證線性無關。這種情況下,有些時候我們設
。根據題設條件往往能得到,進而由的線性無關得到係數全為零。
題型2. 關於歐氏空間常用結論
(1)內積的定義
(2)單位正交基的定義
(3)設是單位正交基,
。則5題型3. 關於矩陣的秩的證明中常用的結論
(1)初等變換不改變矩陣的秩
(2)乘可逆矩陣不改變矩陣的秩
(3)階梯形的秩
(4)幾個公式(最好知道如何證明):常用來證明關於秩的不等式
(5)利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩(常用來證明關於秩的不等式)
例:證明:。
證:上面第二個等號是用左乘第乙個分塊矩陣的第一行,然後加到第二行所得;第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列,然後加到第二列所得。
(6)利用齊次線性方程組解的結構(),此方法也可以用來證明關於向量組的秩方面的的問題。
(7)利用向量組的秩與維數
主要是兩個結論:(i)矩陣的秩=列秩=行秩
(ii)的定義域
的維數(8)利用行列式秩
(9)利用相抵標準形
題型4. 關於可逆矩陣常用結論
(1)結論:可逆有唯一解。
(2)結論:可逆可逆。
(3)結論:可逆當且僅當可以寫為初等矩陣的乘積。
(4)結論:可逆當且僅當0不是它的特徵值。
[, , ]
(1)結論:相似於。
(2)結論:任乙個複數域上的方陣都相似於乙個若當形矩陣。
(3)特徵值與特徵向量的定義
(4)結論:是的特徵值。
(5)結論:屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。
(6)結論:特徵多項式的常數項就是它的行列式,它的第n-1次項的係數就是對角線上元素之和。
(7)結論:。
(8)結論:課本p242定理7.8。
(9)結論:課本p242推論。
(10)結論:課本p243定理7.10。
(11)結論:實對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。
[, , ]
(1)定義:二次型的矩陣。
(2)定義:相合關係。
(3)實對稱矩陣的相似標準形、相合標準形與相合規範形的區別。
(4)定義:課本p263定義7.12與p269定義7.12
(5)實對稱矩陣的正、負慣性指數與特徵值的關係。
(6)結論:課本p264定理7.17、7.18、7.19
(7)結論:課本p269定義下面的內容
重要建議:最好把課本第七章內容全部記住!
線性代數證明思路
線性代數 常見證明題型及常用思路 二 證明題 題型1 關於線性相關性的證明中常用的結論 1 設,然後根據題設條件,通過解方程組或其他手段 如果能證明必全為零,則線性無關 如果能得到不全為零的使得等式成立,則線性相關。2 線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。3 如果,則可通過矩陣的秩等方面的...
《線性代數I》常見證明題型及常用思路
二 證明題 題型1 關於線性相關性的證明中常用的結論 1 設,然後根據題設條件,通過解方程組或其他手段 如果能證明必全為零,則線性無關 如果能得到不全為零的使得等式成立,則線性相關。2 線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。3 如果,則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。4 如果我們有兩個線性無...
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二 證明題 題型1 關於線性相關性的證明中常用的結論 1 設,然後根據題設條件,通過解方程組或其他手段 如果能證明必全為零,則線性無關 如果能得到不全為零的使得等式成立,則線性相關。2 線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。3 如果,則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。4 如果我們有兩個線性無...