二、證明題
題型1．關於線性相關性的證明中常用的結論
（1）設，然後根據題設條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無關；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。
（2）線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。
（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。
（4）如果我們有兩個線性無關組， 且是同乙個線性空間的兩個子空間，要證線性無關。這種情況下，有些時候我們設
。根據題設條件往往能得到，進而由的線性無關得到係數全為零。
題型2. 關於歐氏空間常用結論
（1）內積的定義
（2）單位正交基的定義
（3）設是單位正交基，
。則5題型3. 關於矩陣的秩的證明中常用的結論
（1）初等變換不改變矩陣的秩
（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩
（3）階梯形的秩
（4）幾個公式（最好知道如何證明）：常用來證明關於秩的不等式
（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關於秩的不等式）
例：證明：。
證：上面第二個等號是用左乘第乙個分塊矩陣的第一行，然後加到第二行所得；第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列，然後加到第二列所得。
（6）利用齊次線性方程組解的結構（），此方法也可以用來證明關於向量組的秩方面的的問題。
（7）利用向量組的秩與維數
主要是兩個結論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩
（ii）的定義域
的維數（8）利用行列式秩
（9）利用相抵標準形
題型4. 關於可逆矩陣常用結論
（1）結論：可逆有唯一解。
（2）結論：可逆可逆。
（3）結論：可逆當且僅當可以寫為初等矩陣的乘積。
（4）結論：可逆當且僅當0不是它的特徵值。
[, , ]
（1）結論：相似於。
（2）結論：任乙個複數域上的方陣都相似於乙個若當形矩陣。
（3）特徵值與特徵向量的定義
（4）結論：是的特徵值。
（5）結論：屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。
（6）結論：特徵多項式的常數項就是它的行列式，它的第n-1次項的係數就是對角線上元素之和。
（7）結論：。
（8）結論：課本p242定理7.8。
（9）結論：課本p242推論。
（10）結論：課本p243定理7.10。
（11）結論：實對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。
[, , ]
（1）定義：二次型的矩陣。
（2）定義：相合關係。
（3）實對稱矩陣的相似標準形、相合標準形與相合規範形的區別。
（4）定義：課本p263定義7.12與p269定義7.12
（5）實對稱矩陣的正、負慣性指數與特徵值的關係。
（6）結論：課本p264定理7.17、7.18、7.19
（7）結論：課本p269定義下面的內容
題型1．解線性方程組（必須掌握）
最常用方法：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為），然後對自由未知量賦予任意值，即設，這兒為任意常數。把賦予自由未知量的值帶入方程組，解除方程組的解（是關於的一些表示式）
方法（1）的變形：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設為）。設是的一組基（常取自然基）。
然後令，分別解得方程組的解：（這是乙個基礎解系）。則可知方程組的解為，這兒為任意常數。
（一般解）
cramer法則。注意：cramer法則只對係數矩陣可逆的情形適用。
題型2．將用線性表示（或求座標）
常用思路：待定係數法。設使得。然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。解方程組。
方法二：利用課本定理4.10（如果已知在某一組基下的矩陣）
題型3．判斷的線性相關性
常用思路：待定係數法。設使得。然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。解方程組。如果方程組只有零解，則線性相關。反之，線性無關。
題型4．求的極大無關組及秩
常用思路：待定係數法。設使得。
然後根據題設條件得到關於的乙個方程組。用高斯消元法化簡方程組，得到自用未知量。不是自用未知量的所對應的放到一起，就構成了原向量組的乙個極大無關組。
題型4′．求基與維數
常用方法：找到一組有限生成元，轉化為題型4。
題型5. 將擴充為一組基
常用思路：首先確定出的乙個極大無關組，設為。然後設，構建線性方程組
（假設是列向量）
然後解除上面方程組的乙個基礎解系，設為（想想為什麼一定有個）。則就是一組基（想想為什麼線性無關）
題型6．schmidt正交化過程
題型7. 兩組基的過渡矩陣**化為題型2）
題型8. 線性對映（變換）的矩陣
方法一：利用定義，轉化為題型2。
方法二：利用課本定理7.4（如果已知在一組基下的矩陣及過渡矩陣）
題型9. 求矩陣的秩（可考慮放棄）
方法一：基於初等變換不改變矩陣得知，利用初等變換把原矩陣化為乙個容易看出秩的矩陣（一般為階梯形）。
方法二：利用分塊矩陣。主要基於以下幾個公式：
方法三：利用秩的一些性質，主要是：
方法四：利用的行/列秩，轉化為題型4或利用向量組的秩的一些性質
方法五：利用的行列式秩
方法六：利用線性方程組解的結構，主要基於：
題型10. 求可逆矩陣的逆矩陣
方法一：基於可逆的唯一解為，利用線
性方程組求解。
方法二：基於可逆矩陣可寫成初等矩陣的乘積，利用初等變換求
解，主要是兩個公式：
前者只能用行變換，後者只能用列變換。
方法三：利用分塊矩陣求解。主要基於兩個公式：（假設已知可逆）
注意：主對角線上的子塊必為可逆方陣。
方法四：利用伴隨矩陣（一定要細心！）
題型11. 求行列式（小心符號！）
方法一：利用初等變換或課本5.1節的簡單性質化為三角陣或其他容易求解的行列式。
方法二：利用公式（注意必為同型方陣）方法三：利用按行/列展開公式，一般得到遞推公式。方法四：前面三者結合。（最為常用）
幾個必須知道的結論：
（1）三角形行列式=對角線元素乘積
（2）（3）範德蒙行列式
題型12. 求特徵值與特徵向量及矩陣對角化（必須掌握）
方法：利用特徵多項式求特徵值，利用求線性方程組的基礎解求特徵向量。最後注意：在寫出以及原矩陣的相似標準形時要注意特徵向量與特徵值是相互對應的。
題型13. 實對稱矩陣的對角化
方法：和題型12一致，但是要加入schmidt正交化過程及單位要注意的是：千萬不要把所有的特徵向量放在一起schmidt正交化，一定要分別對每個特徵值所對應的特徵向量分別正交化，也就是說：
如果有m個不同特徵值，要進行m次schmidt正交化過程！
題型14. 求二次型/矩陣相合標準形與相合規範形（必須掌握）
方法一：配方法。
一致）方法三：利用題型12或13，基於正交矩陣的逆矩陣和轉置一樣。
《線性代數I》常見證明題型及常用思路
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線性代數習題答案證明題
1 試題序號 329 2 題型 證明題 3 難度級別 4 4 知識點 第四章向量組的線性相關性 5 分值 8 6 所需時間 10分鐘 7 試題關鍵字 向量組的線性關係與矩陣的秩 8 試題內容 設線性無關，可由線性表示，不可由線性表示，證明 線性無關 其中為常數 9 答案內容 證明 假設,則有 線性相...