1、試題序號：329
2、題型：證明題
3、難度級別：4
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：10分鐘
7、試題關鍵字：向量組的線性關係與矩陣的秩
8、試題內容：
設線性無關，可由線性表示，不可由線性表示，證明：線性無關（其中為常數）.
9、答案內容：
證明:，
.假設,則有
線性相關,因而與不能由線性表示矛盾.
,線性無關.
10、評分細則：由題設中條件推出(2分);假設由題設推出能由線性表示,與題設矛盾(2分);推出(3分);推出線性無關(1分).
1、試題序號：330
2、題型：證明題
3、難度級別：2
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：6分鐘
7、試題關鍵字：向量組與矩陣的秩
8、試題內容：
設為矩陣，為矩陣，,若，證明的列向量組線性無關.
9、答案內容：
證明:為矩陣,為矩陣,且,為單位矩陣.由矩陣秩的性質,則有.又
的列向量組線性無關.
10、評分細則：由題設推出(2分);又有題設中(2分); (2分);所以的列向量組線性無關(2分).
1、試題序號：331
2、題型：證明題
3、難度級別：4
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：10分鐘
7、試題關鍵字：向量組的線性關係與矩陣的秩
8、試題內容：
設為個線性無關的維列向量，與均正交，證明：線性相關.
9、答案內容：
證明:分別與均正交,
令, ,
線性相關.
10、評分細則：令(1分);由題設中條件推得
(2分); (1分);若(1分);線性相關(1分);若(1分),所以線性相關(1分).
1、試題序號：332
2、題型：證明題
3、難度級別：2
4、知識點：第五章相似矩陣及二次型
5、分值：8
6、所需時間：6分鐘
7、試題關鍵字：正交向量組
8、試題內容：
已知階實矩陣為正交矩陣，為維正交單位向量組，證明：也是維正交單位向量組.
9、答案內容：
證明:是階正交矩陣,則有
是維正交向量組
是正交向量組.
10、評分細則：由題設中條件推出(2分); (2分);且可逆,推得(2分);推得是正交向量組(2分).
1、試題序號：333
2、題型：證明題
3、難度級別：4
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：10分鐘
7、試題關鍵字：向量組的秩與方程組的解
8、試題內容：
設是的乙個基礎解系，不是的解，證明：線性無關.
9、答案內容：
證明:假設.這與不是的解矛盾
即線性無關.
10、評分細則：由題設推出(2分);假設,由題設中條件推出可以由線性表示,與不是的解矛盾(2分); (2分);線性無關(2分).
1、試題序號：334
2、題型：證明題
3、難度級別：2
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：8分鐘
7、試題關鍵字：矩陣的秩與方程組的解
8、試題內容：
設為階矩陣，若只有零解，證明：方程組也只有零解，其中為正整數.
9、答案內容：
證明:只有零解
為階矩陣,
可逆則即為可逆矩陣
只有零解.
10、評分細則：由題設推出可逆(3分);推出(2分);推得只有零解(3分).
1、試題序號：335
2、題型：證明題
3、難度級別：4
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：10分鐘
7、試題關鍵字：向量組的秩,矩陣的秩及方程組的解
8、試題內容：
設是矩陣，是矩陣，為矩陣，求證：若可逆且的行向量的轉置都是的解，則的每個行向量的轉置也都是該方程組的解.
9、答案內容：
證明：設的行向量組為（i）
設的行向量組為（ii）
則向量組（i）與（ii）均為維向量組
可逆令，則有
向量組（i）可以由（ii）線性表示
向量組（ii）是的解
向量組（i）也是的解
10、評分細則：令的行向量組(i),的行向量組為(ii)(1分); (2分);
推得, (2分)
所以(i)可以由(ii)線性表示(2分);由(ii)是的解推出(i)也是的解(1分).
1、試題序號：336
2、題型：證明題
3、難度級別：2
4、知識點：第四章向量組的線性相關性
5、分值：8
6、所需時間：6分鐘
7、試題關鍵字：向量組的線性關係與方程組的基礎解系
8、試題內容：
設非齊次線性方程組的係數矩陣的秩為，是其匯出組的乙個基礎解系，是的乙個解，證明：線性無關.
9、答案內容：
證明：假設線性相關，
是的基礎解系，
是線性無關的.
由以上可得可以由線性表示.
則是的解,與是的解矛盾.
假設不成立,即線性無關.
10、評分細則：假設線性相關,由題設推得可以由線性表示(3分);所以是的解與是的解矛盾(3分);所以線性無關(2分).
1、試題序號：337
2、題型：證明題
3、難度級別：3
4、知識點：第五章相似矩陣及二次型
5、分值：8
6、所需時間：8分鐘
7、試題關鍵字：正定矩陣的逆矩陣與伴隨矩陣
8、試題內容：
設為的伴隨矩陣，若為正定的，試證及均為正定的.
9、答案內容：
證明：∵為正定矩陣，
∴的特徵值全為正數。
設的特徵值為，則有
10、評分細則：設的特徵值為,由題設推得(2分);由的特徵值為推得的特徵值為(1分),則有為正定矩陣(2分);正定(1分)的
特徵值為正定矩陣(2分).
1、試題序號：338
2、題型：證明題
3、難度級別：3
4、知識點：第五章相似矩陣及二次型
5、分值：8
6、所需時間：8分鐘
7、試題關鍵字：正定矩陣
8、試題內容：
若為實對稱矩陣，證明：當充分大時，為正定矩陣.
9、答案內容：
證明：10、評分細則：由題設推得為實對稱矩陣(2分);說明均為的特徵值(2分);當為最大特徵值,推得時,的特徵值全為正數(2分);所以充分大時,為正定矩陣(2分).
1、試題序號：339
2、題型：證明題
3、難度級別：3
4、知識點：第五章相似矩陣及二次型
5、分值：8
6、所需時間：8分鐘
7、試題關鍵字：正定二次型
8、試題內容：
設為階實可逆矩陣，為單位矩陣，,證明：為正定的.
9、答案內容：
證明：10、評分細則：由題設推得為對稱矩陣(2分);令(2分);可逆, (2分);為正定二次型為正定矩陣(2分).
1、試題序號：340
2、題型：證明題
3、難度級別：3
4、知識點：第二章矩陣及其運算
5、分值：8
6、所需時間：7分鐘
7、試題關鍵字：求解逆矩陣
8、試題內容：
若3階實對稱矩陣滿足，為單位矩陣.試證:為正定矩陣.
9、答案內容：
證明：10、評分細則：由題設推得(2分) (2分)的特徵值為1,2,3(2分);所以為正定矩陣(2分).
歷年考研線性代數計算與證明題 2019
計算與證明題 51.1994 設有三個線性無關的特徵向量，求和應滿足的條件。52.1994 設是齊次線性方程組的乙個基礎解系.證明 也是該方程組的乙個基礎解系.53.1995 設三階實對稱矩陣的特徵值為，對應於的特徵向量為，求.54.1995 設是階矩陣，滿足 是階單位矩陣，是的轉置矩陣 求.55....
線性代數習題
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線性代數習題
線性代數測試題 二 一 單項選擇題 從下列各題四個備選答案中選出乙個正確答案，並將其字母代號寫在該題 內。答案錯選或未選者，該題不得分。每小題3分，共15分。1.已知是同階方陣，下列等式中正確的是 ab.cd.2.線性方程組的係數矩陣和增廣矩陣的秩的關係是 ab.cd.或.3.設是矩陣，則下列命題正...