計算與證明題
51.(1994—ⅳ，ⅴ)設有三個線性無關的特徵向量，求和應滿足的條件。
52.(1994—ⅴ)設是齊次線性方程組的乙個基礎解系.證明
也是該方程組的乙個基礎解系.
53.(1995—ⅰ，ⅱ)設三階實對稱矩陣的特徵值為，對應於的特徵向量為，求.
54.(1995—ⅰ，ⅱ)設是階矩陣，滿足(是階單位矩陣，是的轉置矩陣)，，求.
55.(1995—ⅳ)已知向量組;;，如果各向量組的秩分別為.證明:向量組的秩為4.
56.(1995—ⅳ)已知二次型.
（1）寫出二次型的矩陣表示式;
（2）用正交變換把二次型化為標準型，並寫出相應的正交矩陣.
57.(1995—ⅴ)對於線性方程組
討論取何值時，方程組無解，有唯一解和無窮多組解.在方程組有無窮多組解時，試用其匯出組的基礎解系表示全部解.
58.(1995—ⅴ)設三階矩陣滿足
其中列向量.試求矩陣.
59.(1996—ⅰ，ⅱ)已知二次型
的秩為2.
（1）求引數及此二次型對應矩陣的特徵值.
（2）指出方程表示何種曲面.
60.(1996—ⅱ)求齊次線性方程組的基礎解系.
61.(1996—ⅳ)設矩陣
， （1）已知的乙個特徵值為3，試求; （2）求矩陣，使為對角矩陣.
62.(1996—ⅳ)設向量是齊次線性方程組的乙個基礎解系，向量不是方程組的解，即.試證明:向量組線性無關.
63.(1996—ⅴ)已知線性方程組
討論引數取何值時，方程組有解，無解；當有解時，試用其匯出組的基礎解系表示通解.
64.(1996—ⅴ)設有4階方陣滿足條件，其中是4階單位陣.求方陣的伴隨矩陣的乙個特徵值.
65.(1997—ⅰ)設是秩為2的矩陣，
是齊次線性方程組的解向量，求的解空間的乙個標準正交基.
66.(1997—ⅰ)已知是矩陣的乙個特徵向量.
（1）試確定引數及特徵向量所對應的特徵值;
（2）問能否相似於對角矩陣？說明理由.
67.(1997—ⅰ)設是階可逆陣，將的第行和第行對換後得到的矩陣記為.
（1）證明可逆; （2）求.
68.(1997—ⅱ)已知，且，其中是三階單位矩陣，求矩陣.
69.(1997—ⅱ)為何值時，方程組
無解，有唯一解或有無窮多解？並在有無窮多解時寫出方程組的通解.
70.(1997—ⅲ，ⅳ)設為階非奇異矩陣，為維列向量，為常數.記分塊矩陣
其中是矩陣的伴隨矩陣，為階單位矩陣.
（1）計算並化簡; （2）證明:矩陣可逆的充分必要條件是.
71.(1997—ⅲ)設三階實對稱矩陣的特徵值是;矩陣的屬於特徵值的特徵向量分別是.
（1）求的屬於特徵值3的特徵向量; （2）求矩陣.
.72.(1997—ⅳ)設矩陣與相似，且
(1)求的值; (2)求可逆陣，使.
73.(1998—ⅰ)已知二次曲面方程
可以經過正交變換
化為橢圓柱面方程，求的值和正交矩陣.
74.(1998—ⅰ)設是階矩陣，若存在正整數，使線性方程組有解向量，且.證明:向量組是線性無關的.
75.(1998—ⅰ)已知線性方程組
的乙個基礎解系為.試寫出線性方程組
的通解，並說明理由.
76.(1998—ⅱ)設，其中是4階單位矩陣，是4階矩陣的轉置矩陣，
求. 77.(1998—ⅱ)已知，問
（1）取何值時，不能由線性表示？
（2）取何值時，可由線性表示？並寫出此表示式.
78.(1998—ⅲ，ⅳ)設向量都是非零向量，且滿足條件.記階矩陣.求:（1）; （2）矩陣的特徵值和特徵向量.
79.(1998—ⅲ)設矩陣，矩陣，其中為實數，為單位矩陣.求對角矩陣，使與相似，並求為何值時，為正定矩陣.
80.(1998—ⅳ)已知下列非齊次線性方程組(ⅰ)，(ⅱ)
(1)求解方程組(ⅰ)，用其匯出組的基礎解系表示通解.
(2)當方程組(ⅱ)中的引數為何值時，方程組(ⅰ)與(ⅱ)同解.
81.(1999—ⅰ，ⅲ)設矩陣，其行列式，又的伴隨矩陣有乙個特徵值，屬於的乙個特徵向量為，求和的值.
82.(1999—ⅰ)設為階實對稱矩陣且正定，為實矩陣，為的轉置矩陣，試證:為正定矩陣的充分必要條件是的秩.
83.(1999—ⅱ)設矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣.
84.(1999—ⅱ)設向量組:
（1）為何值時，該向量組線性無關？並在此時將向量用線性表示;
（2）為何值時，該向量組線性相關？並在此時求出它的秩和乙個極大線性無關組.
85.(1999—ⅲ)設矩陣，且.又設的伴隨矩陣有特徵值，屬於的特徵向量為，求及的值.
86.(1999—ⅲ)設為實矩陣，為階單位矩陣.已知矩陣，試證:當時，矩陣為正定矩陣.
87.(1999—ⅳ)設矩陣.問當為何值時，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣？並求出和相應的對角矩陣.
88.(1999—ⅳ)已知線性方程組
(1)滿足何種關係時，方程組僅有零解？
(2)滿足何種關係時，方程組有無窮多解，並用基礎解系表示全部解.
89.(2000—ⅰ)設矩陣的伴隨矩陣，且，其中為4階單位矩陣，求矩陣.
90.(2000—ⅰ)某試驗性生產線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數統計，然後將熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工.
設第年一月份統計的熟練工和非熟練工所佔百分比分別為和，記成向量.
（1）求與的關係式並寫成矩陣形式: ;
（2）驗證是的兩個線性無關的特徵向量，並求出相應的特徵值;
（3）當時，求.
91.(2000—ⅱ)設，其中是的轉置，求解方程
92.(2000—ⅱ)已知與具有相同的秩，且可由線性表示，求的值.
.試問:當滿足什麼條件時，
（1）可由線性表出，且表示惟一？
（2）不能由線性表出？
（3）可由線性表出，但表示不惟一？並求出一般表示式.
93.(2000—ⅲ，ⅳ)設向量組
94.(2000—ⅲ)設有元實二次型
其中為實數.試問:當滿足何種條件時，二次型為正定二次型.
95.(2000—ⅳ)設矩陣，已知有三個線性無關的特徵向量，是的二重特徵值.試求可逆矩陣，使得為對角矩陣.
96.(2001—ⅰ)設為線性方程組的乙個基礎解系，
，其中為實常數.試問滿足什麼關係時，也為的乙個基礎解系.
97.(2001—ⅰ)已知3階矩陣與三維向量，使得向量組線性無關，且滿足
（1）記，求3階矩陣，使;
（2）計算行列式.
98.(2001—ⅱ)已知矩陣，且矩陣滿足
其中是3階單位矩陣，求.
【考點】解矩陣方程.
100.(2001—ⅲ，ⅳ)設矩陣，.已知線性方程組有解但不惟一，試求:
（1）的值;（2）正交矩陣，使為對角矩陣.
99.(2001—ⅱ)已知是線性方程組的乙個基礎解系，若
討論實數滿足什麼關係時，也是乙個基礎解系.
101.(2001—ⅲ)設為階實對稱矩陣，秩()=，是中元素的代數余子式(），二次型
（1）記，把寫成矩陣形式，並證明二次型的矩陣為;
（2）二次型與的規範形是否相同？說明理由.
102.(2001—ⅳ)設是維實向量，且線性無關.已知是線性方程組
的非零解向量.試判斷向量組的線性相關性.
103.(2002—ⅰ，ⅱ)已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關，.如果，求線性方程組的通解.
104.(2002—ⅰ)設為同階方陣，
（1）如果相似，試證的特徵多項式相等.
（2）舉乙個二階方陣的例子說明（1）的逆命題不成立.
（3）當均為實對稱矩陣時，試證（1）的逆命題成立.
105.(2002—ⅱ)已知為3階矩陣，且滿足，其中是3階單位矩陣.
（1）證明:矩陣可逆;（2）若，求矩陣.
106.(2002—ⅲ)設齊次線性方程組
其中.試討論為何值時，方程組僅有零解、有無窮多組解？在有無窮多組解時，求出全部解，並用基礎解系表示全部解.
107.(2002—ⅲ)設為三階實對稱矩陣，且滿足條件，已知的秩.
（1）求的全部特徵值;
（2）當為何值時，矩陣為正定矩陣，其中為三階單位矩陣.
108.(2002—ⅳ)設四元齊次線性方程組(ⅰ)為且已知另一四元齊次線性方程組(ⅱ)的乙個基礎解系為
(1)求方程組(ⅰ)的乙個基礎解系;
(2)當為何值時，方程組(ⅰ)與(ⅱ)有非零公共解？在有非零公共解時，求出全部非零公共解.
109.(2002—ⅳ)設實對稱矩陣，求可逆矩陣，使為對角矩陣，並計算行列式的值.
110.(2003—ⅰ)設矩陣，求的特徵值與特徵向量，其中是的伴隨矩陣，為3階單位矩陣.
111.(2003—ⅰ，ⅱ)已知平面上三條不同直線的方程分別為
試證這三條直線交於一點的充分必要條件為.
112.(2003—ⅱ)若矩陣相似於對角矩陣，試確定常數的值;並求可逆矩陣，使.
113.(2003—ⅲ)已知齊次線性方程組
其中.試討論和滿足何種關係時，
(1)方程組僅有零解;
(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的乙個基礎解系.
114.(2003—ⅲ)設二次型
其中二次型的矩陣的特徵值之和為1，特徵值之積為.
(1)求的值;
(2)利用正交變換將二次型化為標準形，並寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.
115.(2003—ⅳ)設有向量組 (ⅰ):和向量組
試問:當為何值時，向量組(ⅰ)與(ⅱ)等價？當為何值時，向量組(ⅰ)與(ⅱ)不等價？
116.(2003—ⅳ)設矩陣可逆，向量是矩陣的乙個特徵向量，是對應的特徵值，其中是矩陣的伴隨矩陣.試求和的值.
117.(2004—ⅰ)設有齊次線性方程組
試問取何值時，該方程組有非零解，並求出其通解.
118.(2004—ⅰ，ⅱ)設矩陣的特徵方程有乙個二重根，求的值，並討論是否可相似對角化.
119.(2004—ⅱ)設有齊次線性方程組
試問取何值時，該方程組有非零解，並求出其通解.
120.(2004—ⅲ)設，
.試討論當為何值時，
(1)不能由線性表示;
(2)可由惟一地線性表示，並求出表示式;
(3)可由線性表示，但表示式不惟一，並求出表示式.
121.(2004—ⅲ)設階矩陣
(1)求的特徵值與特徵向量; (2)求可逆矩陣，使為對角矩陣.
122.(2004—ⅳ)設線性方程組
已知是該方程組的乙個解.試求
(1)方程組的全部解，並用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示全部解;
(2)該方程組滿足的全部解.
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