二、證明題
題型1．關於線性相關性的證明中常用的結論
（1）設，然後根據題設條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無關；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。
（2）線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。
（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。
（4）如果我們有兩個線性無關組， 且是同乙個線性空間的兩個子空間，要證線性無關。這種情況下，有些時候我們設
。根據題設條件往往能得到，進而由的線性無關得到係數全為零。
題型2. 關於歐氏空間常用結論
（1）內積的定義
（2）單位正交基的定義
（3）設是單位正交基，
。則5題型3. 關於矩陣的秩的證明中常用的結論
（1）初等變換不改變矩陣的秩
（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩
（3）階梯形的秩
（4）幾個公式（最好知道如何證明）：常用來證明關於秩的不等式
（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關於秩的不等式）
例：證明：。
證：上面第二個等號是用左乘第乙個分塊矩陣的第一行，然後加到第二行所得；第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列，然後加到第二列所得。
（6）利用齊次線性方程組解的結構（），此方法也可以用來證明關於向量組的秩方面的的問題。
（7）利用向量組的秩與維數
主要是兩個結論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩
（ii）的定義域
的維數（8）利用行列式秩
（9）利用相抵標準形
題型4. 關於可逆矩陣常用結論
（1）結論：可逆有唯一解。
（2）結論：可逆可逆。
（3）結論：可逆當且僅當可以寫為初等矩陣的乘積。
（4）結論：可逆當且僅當0不是它的特徵值。
[, , ]
（1）結論：相似於。
（2）結論：任乙個複數域上的方陣都相似於乙個若當形矩陣。
（3）特徵值與特徵向量的定義
（4）結論：是的特徵值。
（5）結論：屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。
（6）結論：特徵多項式的常數項就是它的行列式，它的第n-1次項的係數就是對角線上元素之和。
（7）結論：。
（8）結論：課本p242定理7.8。
（9）結論：課本p242推論。
（10）結論：課本p243定理7.10。
（11）結論：實對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。
[, , ]
（1）定義：二次型的矩陣。
（2）定義：相合關係。
（3）實對稱矩陣的相似標準形、相合標準形與相合規範形的區別。
（4）定義：課本p263定義7.12與p269定義7.12
（5）實對稱矩陣的正、負慣性指數與特徵值的關係。
（6）結論：課本p264定理7.17、7.18、7.19
（7）結論：課本p269定義下面的內容
重要建議：最好把課本第七章內容全部記住！
《線性代數I》常見證明題型及常用思路
二 證明題 題型1 關於線性相關性的證明中常用的結論 1 設，然後根據題設條件，通過解方程組或其他手段 如果能證明必全為零，則線性無關 如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。2 線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。3 如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。4 如果我們有兩個線性無...
《線性代數I》常見證明題型及常用思路
二 證明題 題型1 關於線性相關性的證明中常用的結論 1 設，然後根據題設條件，通過解方程組或其他手段 如果能證明必全為零，則線性無關 如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關。2 線性相關當且僅當其中之一可用其他向量線性表示。3 如果，則可通過矩陣的秩等方面的結論證明。4 如果我們有兩個線性無...
線性代數習題答案證明題
1 試題序號 329 2 題型 證明題 3 難度級別 4 4 知識點 第四章向量組的線性相關性 5 分值 8 6 所需時間 10分鐘 7 試題關鍵字 向量組的線性關係與矩陣的秩 8 試題內容 設線性無關，可由線性表示，不可由線性表示，證明 線性無關 其中為常數 9 答案內容 證明 假設,則有 線性相...