第一套線性代數模擬試題解答
一、填空題(每小題4分，共24分)
1、 若是五階行列式中帶正號的一項，則。
令，，取正號。(知識點：行列式的逆序數)
2、 若將階行列式的每乙個元素添上負號得到新行列式，則= 。
即行列式的每一行都有乙個(-1)的公因子，所以=。
3、設, 則=。
可得4、設為5 階方陣，，則。
由矩陣的行列式運算法則可知：。答案應該為5的n次方
5、為階方陣,且 0 。
由已知條件：，
而 ：。
6、設三階方陣可逆，則應滿足條件。
可逆，則行列式不等於零：。
二、單項選擇題(每小題4分，共24分)
7、設，則行列式 a 。
abc． d．
由於8、設階行列式，則的必要條件是 d 。
a．中有兩行(或列)元素對應成比例 b．中有一行(或列)元素全為零
c．中各列元素之和為零 d．以為係數行列式的齊次線性方程組有非零解
9、對任意同階方陣，下列說法正確的是 c 。
a. b. c. d.
10、設為同階可逆矩陣，為數，則下列命題中不正確的是 b 。
a. b. c. d.
由運算法則，就有。
11、設為階方陣，且，則 c 。
ab． c． d．
因為。12、矩陣的秩為2，則= d 。
a. 2 b. 3 c.4 d.5
通過初等變換，由秩為2可得：
三、計算題(每小題7分，共42分)
13、計算行列式：。
解：。14、計算行列式：。
解：先按第一行展開，再按第三行展開，有：
=。15、問取何值時，齊次線性方程組有非零解。
解：齊次線性方程組有非零解，則係數行列式為零：
16、設矩陣，計算。
解：因為，所以都可逆，有
。17、解矩陣方程，求，其中=。
解：,。18、設，利用分塊矩陣計算。
解：四、證明題(每小題5分，共10分)
19、設階方陣滿足，證明矩陣可逆，並寫出逆矩陣的表示式。 化簡方程
證明：因為，
從而。20、若矩陣，則稱矩陣為反對稱矩陣，證明奇數階反對稱矩陣一定不是滿秩矩陣。
證明：設為階反對稱矩陣，為奇數，則
，所以不可逆，即不是滿秩矩陣。
第二套線性代數模擬試題解答
一、填空題(每小題4分，共24分)
1、為3階方陣,且是的伴隨矩陣,則= -4 。
因為：。
2、為5×3矩陣,秩()=3, ,則秩()= 3 。
因為可逆，相當於對作列初等變換，不改變的秩。
3、均為4維列向量，，，
， ，則= 40 。
。4、，，且，則= -4 。
5、如果元非齊次線性方程組有解，，則當 n 時有唯一解；
當 < n 時有無窮多解。
非齊次線性方程組有解的定義。
6、設四元方程組的3個解是。其中，如，則方程組的通解是。
因為，所以的基礎解系含4-3=1個解向量；又都是的解，相加也是的解，從而可得的乙個解為：
，於是的通解為：。
二、單項選擇題(每小題4分，共24分)
7、對行列式做 d 種變換不改變行列式的值。
a.互換兩行b.非零數乘某一行
c.某行某列互換 d.非零數乘某一行加到另外一行
8、階方陣滿足，其中為單位矩陣，則必有 d 。
a. b. c. d.
矩陣乘法不滿足變換律，而d中。
9、矩陣的秩為2，則= d
a. 3 b. 4 c.5 d.6
通過初等變換，由秩為2可得：。
10、若方陣不可逆，則的列向量中 c 。
a. 必有乙個向量為零向量b. 必有二個向量對應分量成比例
c. 必有乙個向量是其餘向量的線性組合 d. 任一列向量是其餘列向量的線性組合
方陣不可逆，則的列向量線性相關，，由定義可得。
11、若r維向量組線性相關，為任一r維向量，則 a 。
a.線性相關b.線性無關
c.線性相關性不定 d.中一定有零向量
由相關知識可知，個數少的向量組相關，則個數多的向量組一定相關。
12、若矩陣有乙個3階子式為0，則 c 。
a.秩()≤2 b. 秩()≤3 c. 秩()≤4 d. 秩()≤5
由矩陣秩的性質可知：，而有乙個3階子式為0，不排除4階子式不為0。
三、計算題(每小題7分，共42分)
13、計算行列式。
解：14、設，，，，求矩陣。
解：。15、已知三階方陣，且，計算矩陣。
解：16、求矩陣的秩，並找出乙個最高端非零子式。
解：， 最高端非零子式是。
17、寫出方程組的通解。
解：18、已知r3中的向量組線性無關，向量組，
線性相關，求k值。
解： ，
由線性無關，得，
因為相關，所以有非零解，故係數行列式=0，得。
四、證明題(每小題5分，共10分)
19、設為階方陣，若，則秩秩。
證明：因為線性方程組，當秩時，基礎解系為個，由
則有，即b的列均為的解，這些列的極大線性無關組的向量個數≤即秩(，從而秩。
20、如果線性相關，但其中任意3個向量都線性無關，證明必存在一組全不為零的數，使得。
證明：因為線性相關，所以存在一組「 不全為零」的數，使得， 如果，則
，且由於不全為零，所以
線性無關，與題設矛盾，所以；
同理，可證明。
第三套線性代數模擬試題解答
一、填空題(每小題4分，共24分)
1、 已知三階行列式，表示它的元素的代數余子式，則與對應的三階行列式為。
由行列式按行按列展開定理可得。
2、均為階方陣，，則=。
由於：。
3、，則=。
由於。4、向量組線性無關。
因為：。
5、設6階方陣的秩為5，是非齊次線性方程組的兩個不相等的解，則
的通解為。
由於，所以的基礎解系只含乙個向量：，故有上通解。
6、已知為的特徵向量，則。
。二、單項選擇題(每小題4分，共24分)
7、，，則 d 。
a． b． c． d．
對a作行變換，先作，將第一行加到第三行上，再作，交換一二行。
8、元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 b 。
a． b． c． d．
齊次線性方程組有非零解的定理。
9、已知矩陣的秩為，是齊次線性方程組的兩個不同的解，為任意常數，則方程組的通解為 d 。
a． b． c． d．
基礎解系只含乙個解向量，但必須不等於零，只有d可保證不等於零。
10、矩陣與相似,則下列說法不正確的是 b 。
a.秩()=秩() b. = c. d.與有相同的特徵值
相似不是相等。
11、若階方陣的兩個不同的特徵值所對應的特徵向量分別是和，則 b 。
a.和線性相關 b.和線性無關
c.和正交d.和的內積等於零
特徵值，特徵向量的定理保證。
12、階方陣具有個線性無關的特徵向量是與對角矩陣相似的 c 條件。
a.充分條件 b. 必要條件 c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要
矩陣與對角矩陣相似的充分必要定理保證。
三、計算題(每小題7分，共42分)
13、設與均為3階方陣，為3階單位矩陣，，且；求。
解：因為ab+e=a2+b
， 可逆
所以。14、滿足什麼條件時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？
解：當且時，方程組有惟一解。當時方程組無解。
當時方程組當時
這時方程組只有零解。
當時，這時方程組有無窮多解。
15、向量組
，（1）計算該向量組的秩，（2）寫出乙個極大無關組，並將其餘向
量用該極大無關組線性表示。
解：，為乙個極大無關組，
， 16、設矩陣的乙個特徵值為3，求。
解： 17、計算矩陣的特徵值與特徵向量。
解：，所以得：特徵值，解方程組，
只得乙個對應特徵向量為：；
， 解方程組，可得特徵向量為。
18、當為何值時，為正定二次型？
解：解不等式：。
四、證明題(每小題5分，共10分)
19、設向量能由這三個向量線性表示且表示式唯一, 證明：向量組線性無關。
證明：（反證法）如果線性相關，則有一組不全為0的係數使= （1），由已知設，結合（1）式得
（2）由於不完全為零，則，，必與不同，這樣已有兩種表示，與表示法惟一相矛盾，證畢。
20、設是階方陣的3個特徵向量，它們的特徵值不相等，記，證明不是的特徵向量。
證明：假設，
又：從而：，由於特徵值各不相等，所以
線性無關，所以的，矛盾。
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