平面向量的綜合應用專題研究
1．(2010·湖南卷改編)已知a，b是圓心為c半徑為的圓上兩點，且||＝，則·等於( )
ab.c．0 d.
答案 a
解析本題考查向量的數量積的運算．由於弦長|ab|＝與半徑相同，則∠acb＝60cos∠acb＝－··cos60°＝－.
2．已知a，b是兩個非零向量，給定命題p：|a·b|＝|a||b|，命題q：t∈r，使得a＝tb，則p是q的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 c
解析 ∵|a·b|＝|a||b||cosθ|＝|a||b|，
∴θ＝0°或180°，即a，b共線．
∴t∈r，使得a＝tb成立．
∴p是q的充分條件．
若t∈r，使得a＝tb，則a，b共線，
∴|a·b|＝|a||b|.∴p是q的必要條件．
綜上可知，p是q的充要條件．
3．p是△abc所在平面上一點，若·＝·＝·，則p是△abc的( )
a．外心 b．內心
c．重心 d．垂心
答案 d
解析由·＝·得·(－)＝0.即·＝0.∴⊥.同理 ⊥.即p為垂心．
4．在平行四邊形abcd中，＝a，＝b，則當(a＋b)2＝(a－b)2時，該平行四邊形為( )
a．菱形 b．矩形
c．正方形 d．以上都不正確
答案 b
解析數形結合，在平行四邊形中，
a＋b＝＋＝，
a－b＝－＝，由|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||，對角線相等的平行四邊形為矩形，故選b.
5．若o是△abc所在平面內一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△abc的形狀是( )
a．等腰三角形 b．直角三角形
c．等腰直角三角形 d．等邊三角形
答案 b
解析 ＋－22＝|－|2·＝0，∴三角形為直角三角形，故選b.
6．在△abc中，·＝3，△abc的面積s∈[，]，則與夾角的取值範圍是( )
ab．[，]
cd．[，]
答案 b
解析設〈，〉＝α，因為·＝||·||·cosα＝3||·||＝，又s＝||·||·sin(π－α)＝··sin(π－α)＝tanα，而≤s≤≤tanα≤≤tanα≤1≤α≤.故選b.
7．如圖所示，e、f、g、h分別是四邊形abcd的所在邊的中點，若(＋)·(＋)＝0，則四邊形efgh是( )
a．平行四邊形，但不是矩形
b．矩形
c．菱形
d．正方形
答案 b
解析 ∵＋＝，＋＝，
且(＋)·(＋)＝0，
∴·＝0，即⊥.
又∵e、f、g、h為四邊形abcd四邊的中點，
∴∥∥，∥∥，
故四邊形efgh為平行四邊形且⊥，即為矩形．
8．已知座標原點為o，拋物線y2＝2x與過焦點的直線交於a、b兩點，則·等於________．
答案 －
解析設a(，y1)，b(，y2)，
則＝(，y1)，＝(，y2)，
又由y1y2＝－p2＝－1.
∴·＝(，y1)·(，y2)＝yy＋y1y2
＝－1＝－
9．已知向量m＝(0，－1)，n＝(cosa,2cos2)，其中a、b、c是△abc的內角，且a、b、c依次成等差數列，求|m＋n|的取值範圍．
答案 [，)
解析 2b＝a＋c，b＝，a＋c＝，∴0m＋n＝(cosa,2cos2－1)＝(cosa，cosc)，
|m＋n|＝＝＝＝
<2a＋<，
∴－1≤cos(2a＋)<，∴|m＋n|∈[，)．
10．(2012·煙台調研)已知向量m＝(a＋c，b)，n＝(a－c，b－a)，且m·n＝0，其中a，b，c是△abc的內角，a，b，c分別是角a，b，c的對邊．
(1)求角c的大小；
(2)求sin a＋sin b的取值範圍．
解 (1)由m·n＝0，
得(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0a2＋b2－c2＝ab.
由餘弦定理，得cosc＝＝＝，
∵0(2)∵c＝，∴a＋b＝.
∴sina＋sinb＝sina＋sin(－a)
＝sina＋sincosa－cossina
＝sina＋cosa＝(sina＋cosa)
＝sin(a＋)．
∵0∴∴11．平面上的兩個向量，滿足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y (x，y∈r)，且a2(x－)2＋b2(y－)2＝1.
(1)如果點m為線段ab的中點，求證：＝(x－)＋(y－)；
(2)求||的最大值，並求此時四邊形oapb面積的最大值．
分析對第(1)問，可先求，再由條件即可得到結論；對第(2)問，先設點m為線段ab的中點，進而利用第(1)問的結論，並由條件確定p，o，a，b四點共圓，結論即可得到．
解析 (1)因為點m為線段ab的中點，所以＝＋.所以＝－＝(x＋y)－(＋)＝(x－)＋(y－).
(2)設點m為線段ab的中點，則由⊥，知1.
又由(1)及a2(x－)2＋b2(y－)2＝1，得
||2＝|－|2＝(x－)22＋(y－)22＝(x－)2a2＋(y－)2b2＝1.
所以1.
故p，o，a，b四點都在以m為圓心，1為半徑的圓上，所以當且僅當op為圓m的直徑時，||max＝2.
這時四邊形oapb為矩形，則s四邊形oapb＝||·||＝ab≤＝2，當且僅當a＝b＝時，四邊形oapb的面積最大，最大值為2.
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