題型一：向量綜合
【例1】 設，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：
③不與垂直 ④中，
真命題是（ ）
ab．②③ cd．②④
【例2】 設向量滿足：，，．以的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數最多為（ ）
ab． c． d．
【例3】 ⑴ 已知，，，，求證： ．
⑵ 已知，．求，．
⑶ 已知，，若，求、的值．
【例4】 關於平面向量．有下列三個命題：
①若，則．②若，，，則．
③非零向量和滿足，則與的夾角為．
其中假命題的序號為 ．（寫出所有真命題的序號）
【例5】 如圖，以原點和為頂點作等腰直角，使，求點和向量的座標．
【例6】 設，，為座標平面上三點，為座標原點，若與在方向上的投影相同，則與滿足的關係式為（ ）
a． b． c． d．
【例7】 已知，，向量與共線.
（1）求關於的函式；
（2）是否在直線和直線上分別存在一點，使得滿足為銳角時取值集合為或？若存在，求出這樣的的座標；若不存在，說明理由.
【例8】 已知向量滿足，且，其中.
（1）試用表示，並求出的最大值及此時與的夾角的值；
（2）當取得最大值時，求實數，使的值最小，並對這一結果作出幾何解釋.
【例9】 已知點o（0，0），a（1，2），b（4，5）及＝＋t
求：(1) t為何值時，p在x軸上？p在y軸上？p在第二象限？
(2) 四邊形oabp能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.
【例10】 已知a、b、c是直線上的不同的三點，o是外一點，向量滿足,記.求函式的解析式；
【例11】 已知，是兩個向量集合，則（ ）
a． b． c． d．
題型二：與三角函式綜合
【例12】 已知向量，，則向量與的夾角為（ ）
a． bcd．
【例13】 已知為的三個內角的對邊，向量，
．若，且，則角 ．
【例14】 已知向量，，且，那麼與的夾角的大小是_______．
【例15】 已知向量，，且.
⑴求及；
⑵求函式的最大值，並求使函式取得最大值時的值.
【例16】 若，，且，其中．
（1）用表示；（2）求當時，與所成角的大小．
【例17】 已知向量和，，且，求的值．
【例18】 設，，，，，與的夾角為，與的夾角為（1）用表示；（2）若，求的值．
【例19】 已知為座標原點，，（，，為常數），若，
（1）求關於的函式解析式；
（2）若時，的最大值為2，求的值，並指出函式的單調區間．
【例20】 在銳角中，已知，求角的度數．
【例21】 設，向量．
⑴證明：向量與垂直；⑵當時，求角．
【例22】 已知點，，，且．
⑴若，求與的夾角；
⑵若，求的值．
【例23】 已知、、的座標分別為，，．
⑴若且，求角的值；
⑵若，求的值．
【例24】 已知向量，若，且.
⑴試求出和的值；⑵求的值.
【例25】 設向量，記．
⑴求函式的最小正週期；
⑵畫出函式在區間的簡圖，並指出該函式的圖象可由的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
⑶若，函式的最小值為，試求出函式的最大值並指出取何值時，函式取得最大值．
【例26】 已知向量，，且，
⑴求及；
⑵若的最小值是，求的值．
【例27】 設平面上、兩點的座標分別是，，其中．
⑴求的表示式；
⑵記，求函式的最小值．
【例28】 為△的內角a、b、c的對邊，，，且與的夾角為，求c；
【例29】 在abc中，a，b，c分別為角a、b、c的對邊；若向量與的夾角為，求角b的大小
【例30】 已知a、b、c三點的座標分別為、、
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值。
【例31】 已知：a、b、c是的內角，分別是其對邊長，向量，，.求角a的大小；
【例32】 在中，已知角為銳角，向量，，．
⑴向量時，求；
⑵求的最大值．
⑶若，求的三個內角和邊的長．
【例33】 如圖，在平面直角座標系中，點在軸正半軸上，直線的傾斜角為，，設，．
⑴用表示點的座標及；
⑵若，求的值．
題型三：平面向量在平面幾何
【例34】 在直角座標系中，已知點a（0，1）和點b（—3，4），若點c在∠aob的一平分線上，且，則
【例35】 在平行四邊形中，與交於點，是線段的中點，的延長線與交於點．若，，則
a． b．
c． d．
【例36】 若是內一點，，則是的（ ）
ａ．內心b．外心c．垂心d．重心
【例37】 若點是的外心，且，則內角的大小為____
【例38】 在δabc中，o為中線am上的乙個動點，若am=2，則的最小值為
【例39】 已知點是的重心，，用表示．
【例40】 在△abc中，已知向量與滿足且，則△abc為（ ）
a．三邊均不相等的三角形 b．直角三角形
c．等腰非等邊三角形 d．等邊三角形
【例41】 已知，，，點c在內，且，設，則等於（ ）
ab．3cd．
【例42】 是平面內一定點，, ,是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的( )
a．外心 b．內心c．重心d．垂心
【例43】 已知：如圖所示，abcd是菱形，ac和bd是它的兩條對角線求證ac⊥bd
【例44】 證明：三角形重心與頂點的距離等於它到對邊中點的距離的兩倍.
【例45】 四邊形中，
（1）若，試求與滿足的關係式；
（2）滿足（1）的同時又有，求的值及四邊形的面積。
【例46】 求證：已知點是的重心，過作直線與、兩邊分別交於、兩點，且設，，則．
【例47】 非正的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，，求實數的值．
【例48】 如圖，設為的重心，過的直線與分別交於和，已，，與的面積分別為和．求證：
⑴；⑵．
題型四: 平面向量的實際應用（含物理中的應用）
【例49】 如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則
a． s>|a| b． s<|a| c． s=|a| d． s與|a|不能比大小
【例50】 乙個30的斜面上放有乙個質量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動，應沿斜面方向給球多大_________力;若表示球的重力的向量為p，球對斜面的壓力為ω，則球的重力沿斜面方向的分力f保持球在斜面上靜止不動的推力f
【例51】 點p在平面上作勻速直線運動，速度向量=（4，－3）（即點p的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為||個單位.設開始時點p的座標為（－10，10），則5秒後點p的座標為( )
a．（－2，4） b （10，－5） c （－30，25） d （5，－10）
【例52】 設炮彈被以初速v0和仰角丟擲（空氣阻力忽略不計）.當初速度v0的大小一定時，發射角多大時，炮彈飛行的距離最遠.
【例53】 某人騎車速度，方向往東，此時感到風從正北方吹來，若將速度加快一倍，則感到風從東北方向吹來，求風速與風向.
【例54】 在靜水中划船的速度是每分鐘40，水流的速度是每分鐘20，如果船從岸邊出發，徑直沿垂直與水流的航線到達對岸，那麼船行進的方向應該指向何處？
【例55】 已知三個力的合力，求。
【例56】 已知兩個力的夾角是直角，且已知它們的合力與的夾角為，，求的大小。
【例57】 一條河的兩岸平行，河寬，一小船從處出發航行到對岸，小船速度為，水流速度為。(1)當之間的夾角為多少時，小船才能到達正對岸處，此時位移的大小，方向怎樣？時間是多少？
(2) 當之間的夾角為多少時，小船航行的時間最短？此時位移的大小方向怎樣？時間是多少？
【例58】 如圖，甲船以每小時海浬的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位於處時，乙船位於甲船的北偏西的方向處，此時兩船相距海浬．當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海浬，問乙船每小時航行多少海浬?
題型五：與解析幾何結合
【例59】 如圖，拋物線上有兩點、，且，又，
⑴求證：；
⑵若，求所在直線方程．
【例60】 已知向量，，若與的夾角為，則直線與圓的位置關係是（ ）
a．相交但不過圓心 ．相交且過圓心 c．相切 d．相離
【例61】 已知，若動點滿足，求動點p的軌跡方程.
【例62】 已知兩點，且點使成公差小於的等差數列.（1）點的軌跡是什麼曲線？（2）若點的座標為，記為與的夾角，求.
【例63】 如圖，給出定點和直線，是直線上的動點，的平分線交於點，求點的軌跡方程.
【例64】 如圖，設點為拋物線上非原點的兩個動點，已知，，求點的軌跡方程，並說明它表示什麼曲線？
【例65】 已知射線oa、ob的方程分別為，，動點m、n分別在oa、ob上滑動，且。
（1）若，求p點的軌跡c的方程；
（2）已知，，請問在曲線c上是否存在動點p滿足條件，若存在，求出p點的座標，若不存在，請說明理由。
【例66】 在平面直角座標系中，o為座標原點，已知點，，若點c滿足，點c的軌跡與拋物線交於a、b兩點；
（1）求點c的軌跡方程； （2）求證：；
（3）在x軸正半軸上是否存在一定點，使得過點p的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
【例67】 已知定點，動點在軸上運動，過點作交軸於點，並延長到點，且．
（ⅰ）求點的軌跡；
（ⅱ）直線與的軌跡交於兩點，若，且，求直線的斜率的取值範圍．
【例68】
（ⅰ）求m()的軌跡c；
(ⅱ)過點（0，3）作直線與曲線交於a,b兩點，，是否存在直線使oapb為矩形．
【例69】 已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．
（i） 求點（x，y）的軌跡c的方程；
（ii） 若直線l： y=kx+m (m0)與曲線c交於a、b兩點，d（0，–1），且有|ad|=|bd|，試求m的取值範圍．
題型六：在代數中的應用
【例70】 已知，且x，y，z，a，b，c為非零實數，求證。
【例71】 已知，求證。
【例72】 已知a，b，c，且，求證。
【例73】 求函式的最大值。
【例74】 求函式的最大值。
【例75】 求函式的最小值。
【例76】 設（i＝1，2，……，2003）為正實數，且，試求的最小值。
【例77】 已知，求的最小值。
【例78】 設a、b、c、d均為正數，求證
【例79】 若，求證：
【例80】 求證：若和都是正數，則
【例81】 求函式的最大值。
【例82】 求函式的值域。
【例83】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求的最大值
【例84】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求證：。
【例85】 求證：
【例86】 設任意實數x，y滿足，， 求證：
【例87】 設a，b為不等的正數，求證
4 平面向量的應用 學生
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