【高考會這樣考】
1．考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．
2．考查利用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題．
基礎梳理
1．向量在平面幾何中的應用
平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題．
(1) 證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝0.
(2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質
a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夾角問題，利用夾角公式
cos θ＝＝(θ為a與b的夾角)．
2．平面向量在物理中的應用
(1)由於物理學中的力、速度、位移都是向量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決．
(2)物理學中的功是乙個標量，這是力f與位移s的數量積．
即w＝f·s＝|f||s|cos θ(θ為f與s的夾角)．
乙個手段
實現平面向量與三角函式、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的座標運算．
兩條主線
(1)向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，向量本身是乙個數形結合的產物，在利用向量解決問題時，要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合．
(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善於應用向量的有關性質解題．
雙基自測
1．某人先位移向量a：「向東走3 km」，接著再位移向量b：「向北走3 km」，則a＋b表示
a．向東南走3 km b．向東北走3 km
c．向東南走3 km d．向東北走3 km
2．平面上有四個互異點a、b、c、d，已知(＋－2)·(－)＝0，則△abc的形狀是( )．
a．直角三角形 b．等腰直角三角形
c．等腰三角形 d．無法確定
3．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值，最小值分別是( )．
a．4,0 b．16,0 c．2,0 d．16,4
4．在△abc中，已知向量與滿足·＝0且·＝，則
△abc為( )．
a．等邊三角形 b．直角三角形c．等腰非等邊三角形 d．三邊均不等的三角形
5．平面直角座標系xoy中，若定點a(1,2)與動點p(x，y)滿足·＝4，則點p的軌跡方程是
考向一平面向量在平面幾何中的應用
【例1】平面上o，a，b三點不共線，設＝a，＝b，則△oab的面積等於
ab.cd.
[審題視點] 由數量積公式求出oa與ob夾角的余弦，進而得正弦，再由公式s＝absin θ，求面積．.
平面向量的數量積是解決平面幾何中相關問題的有力工具：利用|a|可以求線段的長度，利用cos θ＝(θ為a與b的夾角)可以求角，利用a·b＝0可以證明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．
【訓練1】 設a，b，c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等於( )．
a．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積
b．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積
c．以a，b為兩邊的三角形的面積
d．以b，c為兩邊的三角形的面積
考向二平面向量與三角函式的交匯
【例2】已知a，b，c的座標分別為a(3,0)，b(0,3)，c(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
[審題視點] 首先求出向量、的座標，第(1)問利用兩個向量的模相等建立角α的三角方程進行求解；第(2)問利用向量與數量積的座標運算化簡已知條件，得到角α的三角函式值，把所求式子化簡，尋找兩個式子之間的關係．
解決平面向量與三角函式的交匯問題的關鍵，準確利用向量的座標運算化簡已知條件，將其轉化為三角函式中的有關問題解決．
【訓練2】 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
考向三平面向量與平面解析幾何交匯
【例3】已知平面上一定點c(2,0)和直線l：x＝8，p為該平面上一動點，作pq⊥l，垂足為q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求動點p的軌跡方程；
(2)若ef為圓n：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求·的最值．
[審題視點] 第(1)問直接設動點p的座標，先把向量之間的關係化簡，然後代入向量座標，化簡整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質化簡向量數量積，將其轉化為動點p與定點n的距離的最值，最後代入點的座標將其轉化為函式的最值求解．
平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數量積的基本運算，數量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應從向量的座標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法——座標法．
【訓練3】 已知點p(0，－3)，點a在x軸上，點q在y軸的正半軸上，點m滿足·＝0，＝－，當點a在x軸上移動時，求動點m的軌跡方程．
難點突破—高考中平面向量與其他知識的交匯問題
平面向量是高中數學的重要知識，是高中數學中數形結合思想的典型體現．近幾年新課標高考對向量知識的命題，既充分體現自身知識結構體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識交匯的命題思路，呈現出「綜合應用，融會貫通」的特色，充分彰顯平面向量的交匯價值．
一、平面向量與命題的交匯
【示例】設a，b是向量，命題「若a＝－b，則|a|＝|b|」的逆命題是
a．若a≠b，則|a|≠|b|
b．若a＝－b，則|a|≠|b|
c．若|a|≠|b|，則a≠－b
d．若|a|＝|b|，則a＝－b
二、平面向量與函式
【示例】若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，則函式f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是
a．一次函式且是奇函式
b．一次函式但不是奇函式
c．二次函式且是偶函式
d．二次函式但不是偶函式
三、平面向量與線性規劃
【示例】已知o是座標原點，點a(－1,1)．若點m(x，y)為平面區域上的乙個動點，則·的取值範圍是( )．
a．[－1,0] b．[0,1] c．[0,2] d．[－1,2]
練習：1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
2.已知＝1，＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為
3.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函式的關係式k＝f（t）；
(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間。
4.已知兩個力（單位：牛）與的夾角為，其中，某質點在這兩個力的共同作用下，由點移動到點（單位：公尺）
（1） 求；（2）求與的合力對質點所做的功
5.平面直角座標系中，o為座標原點，已知兩點a(3, 1)，b(－1, 3)， 若點c滿足，其中，∈r且+=1，則點c的軌跡方程為
6.已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是
7. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交於a、b兩點,且|+|=|-|,其中o為原點,則實數a的值為
8.已知向量a=()，向量b=()，則|2a－b|的最大值是
9．如圖， ，
（1）若∥，求x與y間的關係；
（2）在（1）的條件下，若有，求x,y的值及四邊形abcd的面積.
第4講平面向量的應用 學生
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第4講平面向量應用舉例 學生
a級基礎演練 時間 30分鐘滿分 55分 一 選擇題 每小題5分，共20分 1 已知a 1，sin2x b 2，sin 2x 其中x 0，若 a b a b 則tan x的值等於 a 1b 1cd.2 2013 九江模擬 若 a 2sin 15 b 4cos 15 a與b的夾角為30 則a b的值是...
專題4平面向量 學生版
考情解讀 1.平面向量基本定理和向量共線定理是向量運算和應用的基礎，高考中常以小題形式進行考查.2.平面向量的線性運算和數量積是高考的熱點，有時和三角函式相結合，凸顯向量的工具性，考查處理問題的能力 1 平面向量中的五個基本概念 1 零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0....